قضایای پیوستگی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: پیوستگی
امتیاز:
بازدید: 38 مرتبه

پیوستگی مجموع دو تابع

قضیه

اگر توابع f و g در نقطه x=a پیوسته باشند، تابع f+g در x=a پیوسته است. 

اثبات

فرض می‌کنیم توابع f و g در نقطه x=a پیوسته می‌باشند:

limxafx=falimxagx=ga

می‌خواهیم تساوی زیر را ثابت کنیم:

limxaf+gx=f+ga

طرفین فرض را با هم جمع می‌کنیم.

limxafx+limxagx=fa+galimxafx+gx=f+galimxaf+gx=f+ga

قضیه

اگر تابع در هر نقطه x=a پیوسته و تابع g در آن ناپیوسته باشد، آنگاه f+g در a همواره ناپیوسته است. 

اثبات

فرض کنیم hx=fx+gx

اگر hx در x=a پیوسته باشد، از تساوی فوق نتیجه می‌شود: 

gx=hxfx

که gx در a پیوسته است، که این مطلب خلاف فرض قضیه است، پس hx در x=a ناپیوسته است.  

تذکر

1- اگر توابع f و g در نقطه x=a پیوسته باشند، توابع f-g و f×g و fg با شرط ga0 در x=a پیوسته هستند.

2- اگر تابع در هر نقطه x=a پیوسته و تابع g در آن ناپیوسته باشد، آنگاه f-g در a همواره ناپیوسته است.  

3-  اگر توابع f و g در نقطه x=a ناپیوسته باشند، توابع f±g و f×g و fg با شرط ga0 ممکن است پیوسته یا ناپیوسته باشند، در این مورد بایستی تحقیق شود.

دریافت مثال

پیوستگی و قضیه حدی در ترکیب توابع

قضیه

اگر limxagx=b و اگر تابع f در b پیوسته باشد، آنگاه: 

limxafgx=flimxagx=fb

اثبات

چون تابع f در b پیوسته است، پس داریم: 

limybfy=fbβ>0      α1>0    ;    0<yb<α1fyfb<β    :    Ι


چون limxagx=b پس داریم: 

α1>0    α2>0     ;    0<xa<α2gxb<α10<xa<α2gxb<α1    ;    y=gxyb<α1    ;    Ιfyfb<βfgxfb<βlimxafgx=fb

تمرین

توابع زیر را نظر بگیرید:

fx=cosπx

gx=x2+x    ;    x1     0           ;    x=1

حد زیر را محاسبه کنید.

limx1fgx

limx1gx=2

تابع fx=cosπx در نقطه x=2 پیوسته است، در نتیجه:

limx1fgx=flimx1gx=f2=cos2π=1

قضیه

اگر تابع g در نقطه a پیوسته باشد و تابع f در نقطه ga پیوسته باشد، آنگاه تابع مرکب fog در نقطه a پیوسته است.

اثبات

تابع g در نقطه a پیوسته است:

limxagx=ga

می‌خواهیم ثابت کنیم:

limxafogx=foga

limxafogx=limxafgx=flimxagx=fga=foga

نتیجه قضیه فوق این توانایی را به ما می‌دهد که نقاط پیوسته توابع خاصی را پیدا کنیم.

عکس این قضیه همواره صحیح نمی‌باشد، یعنی ممکن است f یا g یا هر دو در نقاط مورد نظر، ناپیوسته باشند اما ترکیب‌شان پیوسته شود.

دریافت مثال

تذکر

قضیه پیوستگی توابع مرکب را وقتی شرایط آن برقرار باشد بیان کردیم، اما وقتی  f یا g یا هر دو در نقطه یا نقاطی ناپیوسته باشند، این قضیه کارساز نمی‌باشد. 

در این حالات باید ضابطه fog یا gof را تشکیل داده و پیوستگی آنها را در نقاط مورد نظر بررسی کنیم.

دریافت مثال

 پیوستگی توابع چند جمله ‌ای و گویا

 هر تابع چند جمله ای f:RR با ضابطه fx=axn+bxn1++d در R پیوسته است.

هر تابع کسری گویا با ضابطه fx=gxhx که gx و hx چند جمله ای هستند، در دامنه اش پیوسته است.hx0

تذکر

1- هر تابع ثابت fx=c در R پیوسته است.

2- اگر تابع f در نقطه a پیوسته باشد، توابع زیر در نقطه a پیوسته می‌باشند.  

fx2n+1fxfxn

و تابع fx2n به شرطی پیوسته است که به ازای هر x از همسایگی a ، fx0 باشد. 

عکس مطلب بالا همواره صحیح نیست:

یعنی ممکن است تابع fx در نقطه ای پیوسته باشد اما خود تابع fx در آن نقطه پیوسته نباشد.

تابع با ضابطه fx=1x که در تمام نقاط صحیح ناپیوسته است اما fx=1  در R پیوسته است. 

دریافت مثال

پیوستگی توابع مثلثاتی 

توابع y=sinx و y=cosx در R پیوسته است.   

تابع y=tanx در دامنه اش Rxx=kπ+π2 پیوسته است.

تابع y=cotx در دامنه اش Rxx=kπ پیوسته است.

تمرین

فاصله پیوستگی توابع زیر را معین کنید.

hx=12sinx

12sinx012sinxsinx122kπ7π6x2kπ+π6


تابع در فاصله 2kπ7π6,2kπ+π6 تابع پیوسته است.  

ux=x3x+cosx

توابع y=x3xy=cosx در R پیوسته است و همچنین قدرمطلق آنها، در نتیجه مجموع آنها در R پیوسته است. 

fx=x1sin2πx

x1sin2πx0x10x1sin2πx=0sinπx=0πx=kπx=kZDf=1,+Z0


تابع در 1,+ پیوسته است و در x=1 پیوستگی از راست دارد اما چون اعداد صحیح منفی نقاط منفرد تابع می‌باشند طبق تعریف در این نقاط پیوسته نیست. 

پیوستگی توابع ماکزیمم و مینیمم

اگر توابع f و g در هر نقطه a پیوسته باشند، آنگاه توابع با ضابطه های زیر در نقطه a پیوسته اند.

ux=minfx,gxhx=maxfx,gx

دریافت مثال

پیوستگی توابع  کراندار

قضیه

فرض کنیم g یک تابع حقیقی باشد که در یک همسایگی نقطه a تعریف شده و کراندار باشد، در این صورت تابع با ضابطه زیر در x=a پیوسته است.

fx=xagx

 

اثبات

gx کراندار است:

fa=aa.ga=0×ga=0limxafx=limxaxagx=aaga=0×ga=0limxafx=fa

قضیه

فرض کنیم g در یک همسایگی a تعریف شده و کراندار باشد اما لزومی ندارد پیوسته باشد یا حتی حد داشته باشد، اگر تابع f در a پیوسته و fa=0 در این صورت تابع زیر در a پیوسته است.

hx=fx.gx

این قضیه کاربردهای مهمی در پیوستگی حاصل ضرب دو تابع دارد که تابعی در یک نقطه پیوسته و دیگری در همان نقطه ناپیوسته است.

دریافت مثال

قضیه

اگر تابع f در a پیوسته باشد و fa0 تابع g در a ناپیوسته باشد، آنگاه hx=fx.gx در a ناپیوسته است.    

اثبات

اگر hx=fx.gx در x=a پیوسته باشد، آنگاه gx=hxfx در x=a پیوسته است که خلاف فرض  قضیه است. 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

قضایای پیوستگی

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید