بحث در تعداد و علامت ریشه‌ ها

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: معادلات درجه سوم
امتیاز:
بازدید: 38 مرتبه

قضیه

برای بحث در تعداد و علامت ریشه های معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0، معادله به‌فرم قابل بحث و فرم ناقص زیر تبدیل می‌شود:

X3+PX+q=0

با جایگزینی x=Xb3a در معادله درجه سوم کامل، معادله به فرم ناقص خود برای بحث تبدیل می‌شود.

اثبات

برای پیدا کردن تبدیل مورد نیاز، x را به X+k تبدیل می‌کنیم: 

ax3+bx2+cx+d=0a(X+k)3+b(X+k)2+c(X+k)+d=0a(X3+3X2k+3Xk2+k3)+b(X2+2Xk+k2)+cX+kc+d=0aX3+3aX2k+3aXk2+ak3+bX2+2bXk+bk2+cX+kc+d=0aX3+(3ak+b)X2+(3ak2+2bk+c)X+(ak3+bk2+ck+d)=0

برای این‌که معادله به معادله قابل بحث تبدیل شود لازم است ضریب X2 را مساوی صفر قرار می‌دهیم:

3ak+b=03ak=bk=b3aif   x=X+kx=Xb3a

تذکر

چنان‌چه معادله درجه سوم به‌صورت ax3+bx2+d=0 باشد، برای تبدیل آن به معادله قابل بحث کافی است:

x1X

در این ‌صورت معادله به‌فرم X3+PX+q=0 تبدیل می‌شود.  

تمرین

معادله درجه سوم زير را به معادله قابل بحث (فرم ناقص) تبديل كنيد.

x3+6x2+9x+1=0

xXb3a=X63=X2xX2X23+6X22+9X2+1=0X36X2+12X8+6(X24X+4)+9X18+1=0X36X2+12X8+6X224X+24+9X18+1=0X33X1=0

دریافت مثال

نکته

برای بحث در تعداد ریشه های X3+pX+q=0 داریم: 

if   Δ=4p3+27q2>0

در این حالت معادله یک ریشه حقیقی ساده دارد.

اگر q>0 باشد، معادله یک ریشه منفی ساده دارد.

اگر q<0 باشد، معادله یک ریشه مثبت ساده دارد.

توجه کنید، در معادله X3+pX+q=0 اگر p>0 باشد،  حتما مثبت و معادله یک ریشه حقیقی دارد. 


if    Δ=4p3+27q2=0

در این حالت معادله یک ریشه حقیقی ساده و یک ریشه مضاعف دارد.

اگر q>0 باشد، معادله یک ریشه ساده منفی و ریشه مضاعف مثبت دارد.

اگر q<0 باشد، معادله یک ریشه ساده مثبت و ریشه مضاعف منفی دارد.

توجه کنید، در حالتی‌که =0 باشد، ریشه ها به‌‌صورت زیر معرفی می‌شود:

x1=x2=q23 , x3=2q23


if  Δ=4p3+27q2<0

در این حالت معادله سه ریشه حقیقی ساده دارد.

اگر q>0 باشد، معادله یک ریشه ساده منفی و دو ریشه ساده مثبت دارد.

اگر q<0 باشد، معادله یک ریشه ساده مثبت و دو ریشه ساده منفی دارد.

یادآوری

سوالی که مطرح می‌شود آن است که چرا باید برای بحث در معادله درجه سوم، آن را به فرم X3+pX+q=0 تبدیل کرد؟ 

زیرا معادله فوق به‌سادگی قابل رسم است.

قضیه

اگر در معادله X3+pX+q=0  دلتای معادله صفر باشد،  معادله یک ریشه حقیقی ساده و یک ریشه حقیقی مضاعف به‌صورت زیر دارد: 

x1=x2=q23x3=2q23

اثبات

اگر =0 باشد، فرض کنیم معادله درجه سوم فوق دارای ریشه مضاعف α و ریشه ساده β باشد.

X3+pX+q=X-α2(Xβ)X3+pX+q=X22Xα+α2XβX3+pX+q=X3X2β2X2α+2Xαβ+α2Xα2βX3+pX+q=X3(2α+β)X2+(2αβ+α2)Xα2βX3+pX+q=X32α+βX2+2αβ+α2Xα2β2α+β=0β=2α2αβ+α2=pα2β=qα22α=q2α3=qα3=q2α=q23

α=q23 ریشه مضاعف است.

if      β=2αβ=2q23

β=2q23 ریشه ساده است.

تمرین

معادله زیر به‌ازای چه مقاديری از m سه ريشه ساده دارد؟ 

x3+mx24=0

معادله را به فرم ناقص تبديل می‌كنيم:


x1Xx3+mx24=01X3+m1X24=04X3+mX+1=0X3m4X14=0


شرط داشتن ريشه ساده: 

Δ<04p3+27q2<04m43+27142<0m3+2716<0m3+27<0m3>27m>3

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

بحث در تعداد و علامت ریشه‌ها

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید