روابط بین ضرایب و ریشه‌ ها

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: معادلات درجه سوم
امتیاز:
بازدید: 20 مرتبه

روابط اصلی بین ضرایب و ریشه های معادله درجه سوم

قضیه

اگر γ  ,  β  ,  α ریشه های حقیقی معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 باشد، آن‌گاه:

α+β+γ=baαβ+βγ+γα=caα.β.γ=da

اثبات

اگر γ  ,  β  ,  α ریشه های حقیقی معادله درجه سوم باشد، می‌توان نوشت:

ax3+bx2+cx+da(xα)(xβ)(xγ)   a(x3+bax2+cax+da)a(xα)(xβ)(xγ)x3+bax2+cax+da(xα)(xβ)(xγ)x3+bax2+cax+dax2α+βx+αβxγx3+bax2+cax+dax3(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+αγ)xαβγ

ba=(α+β+γ)α+β+γ=baca=αβ+βγ+αγαβ+βγ+γα=cada=αβγαβγ=da

روابط فرعی بین ضرایب و ریشه های معادله درجه سوم

اگر γ  ,  β  ,  α ریشه های حقیقی معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 باشد، آن‌گاه:

1α+1β+1γ=cd

اثبات

1α+1β+1γ=βγ+γα+αβαβγ= cada=cd

if  αβ+βγ+γα=0αβ3+βγ3+γα3=3da2

اثبات

if   αβ+βγ+γα=0

بر طبق اتحاد اولر داریم:

(αβ)3+(βγ)3+(γα)3=3(αβ)(βγ)(γα)=3(αβγ)2=3da2

if    α+β+γ=0α3+β3+γ3=3αβγ=3da

α2+β2+γ2=ba22ca

اثبات

α+β+γ2=α2+β2+γ2+2(αβ+βγ+γα)α2+β2+γ2=α+β+γ22(αβ+βγ+γα)α2+β2+γ2=ba22ca

if    α+β+γ=0α3+β3+γ3=3αβγ

اثبات

α+β+γ=0α+β=γα+β3=γ3α3+3α2β+3αβ2+β3=γ3α3+β3+3αβ(α+β)=γ3α3+β3+3αβ(γ)=γ3α3+β3+γ3=3αβγ

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

روابط بین ضرایب و ریشه‌ها

7,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید