حل معادله ناقص در حالت كلی

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: معادلات درجه سوم
امتیاز:
بازدید: 28 مرتبه

برای حل معادله ناقص درجه سوم x3+px+q=0 در حالت کلی، سه قصیه زیر را مشاهده کنید: 

قضیه

حل معادله درجه سوم x3+px+q=0 وقتی >0 باشد (دستور گاردان)

در این حالت معادله فقط یک ریشه ساده دارد که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

x=q2+Δ1083+q2Δ1083

اثبات

اگر Δ=4p3+27q2>0 در این‌صورت فرض می‌کنیم x=u+v است و در معادله قرار می‌دهیم:

(u+v)3+p(u+v)+q=0u3+3u2v+3uv2+v3+p(u+v)+q=0u3+v3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=03uv+p=03uv=puv=p3u3v3=p327u3+v3+q=0u3+v3=q

معادله درجه دومی تشکیل می‌دهیم که یک ریشه آن u3 و ریشه دیگر v3 باشد.

z2Sz+p=0z2+qzp327=0

Δ1=b24acΔ1=q2+4p327Δ1=27q2+4p327Δ1=Δ27

z=q±Δ12z=q2±Δ272z=q2±Δ108z=q2±Δ108u3=q2+Δ108u=q2+Δ1083v3=q2Δ108v=q2Δ1083

x=u+vx=q2+Δ1083+q2Δ1083

قضیه

حل معادله درجه سوم x3+px+q=0 وقتی =0 باشد.

در این حالت معادله یک ریشه ساده و یک ریشه مضاعف دارد که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

x1=2   q23  ,  x2=x3=  q23

اثبات

x=q2+Δ1083+q2Δ1083if   Δ=0x1=q23+q23=2q23x1=2q23

x1=2q23 ریشه ساده معادله است.


یادآوری می‌کنیم که:

x1+x2+x3=ba=0x1+x2+x3=0


x1+x2+x3=0    ;    x2=x3x1+2x2=02q23+2x2=02q23=2x2x2=q23x2=x2=q23

قضیه

حل معادله درجه سوم x3+px+q=0 وقتی <0 باشد.

در این حالت معادله دارای سه ریشه ساده است که با استفاده از مفاهیم مثلثاتی محاسبه می‌شود.

اثبات

فرض می‌کنیم x=rcosθ باشد، برای تعیین x باید r و θ را پیدا کنیم.r>0

x3+px+q=0rcosθ3+prcosθ+q=0r3cos3θ+prcosθ+q=0cos3θ+pr2cosθ+qr3=0    ;    (1)

از طرفی می‌دانیم:

cos3θ=4cos3θ3cosθ4cos3θ3cos3θcos3θ=0cos3θ34cosθ14cos3θ=0    ;    2       

از مقایسه روابط 1 و 2 داریم:

pr2=34r2=4p3r=2p3qr3=cos3θ4cos3θ=4qr3

از معادله cos3θ=4qr3 سه مقدار متمایز برای cosθ به‌دست می‌آید، زیرا:

cos3θ=4cos3θ3cosθ

هرگاه r<0 اختیار شود، θ متناظر آن فرق می‌کند چون cos3θ به r هم بستگی دارد. 

تذکر

در محاسبه r=2p3 مقدار p همواره منفی است.

اگر p>0 باشد زیر رادیکال منفی می‌شود و برای r مقداری به‌دست نمی‌آید.

تمرین

معادله زير را حل كنيد.

x3+6x20=0

Δ=4p3+27q2=4(6)3+27(20)2=864+10800=11664>0


x=q2+Δ1083+q2Δ1083x=10+1083+101083x=10+633+10633x=1+33+9+333+133+933x=1+333+1333x=1+3+13x=2

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

حل معادله ناقص در حالت كلی

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید