سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

اکسترمم‌ های مطلق

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 45 مرتبه

اکسترمم های مطلق در توابع پیوسته بدون استفاده از مفهوم مشتق

مقدمه: نمودار زیر نشان دهنده تغییرات دمایی برای یک شهر در طی 24 ساعت است:

اکسترمم های مطلق - پیمان گردلو

نقطه A4,10 مینیمم مطلق تابع است و مقدار مینیمم مطلق تابع برابر 10 است.

نقطه D14,35 ماکزیمم مطلق تابع است و مقدار ماکزیمم مطلق تابع برابر 35 است.

تعریفmaxمطلق

تابع y=fx بر بازه a,b دارای ماکزیمم مطلق است، هرگاه نقطه ای مانند ca,b وجود داشته باشد به‌طوری‌كه:

xa,b    ;    fcfx

نقطه c را نقطه ماکزیمم مطلق تابع f بر بازه a,b می‌گوییم و fc را مقدار ماکزیمم مطلق می‌نامیم.      

تعریفminمطلق

تابع y=fx بر بازه a,b دارای مینیمم مطلق است، هرگاه نقطه ای مانند da,b وجود داشته باشد به‌طوری‌كه:

xa,b    ;    fxfd

نقطه d را نقطه مینیمم مطلق تابع f بر بازه a,b می‌گوییم و fd را مقدار مینیمم مطلق می‌نامیم.      

اکسترمم های مطلق - پیمان گردلو

1- به نقاط ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق به طور کلی نقاط اکسترمم مطلق گفته می‌شود.

2- اگر تابع  در بازه بسته a,b پیوسته باشد، آنگاه تابع در این بازه هم ماکزیمم مطلق وهم مینیمم مطلق دارد.

تمرین

وجود ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق را برای تابع پیوسته زیر در بازه های بیان شده ، بررسی می‌کنیم:

اکسترمم های مطلق - پیمان گردلو

1,0

x=-1 طول نقطه مینیمم مطلق تابع است و x=0 طول نقطه ماکزیمم مطلق تابع است.

5,10

x=5 طول نقطه ماکزیمم مطلق تابع است و x=10 طول نقطه مینیمم مطلق تابع است.

10,13

x=10 طول نقطه مینیمم مطلق تابع است و x=13 طول نقطه ماکزیمم مطلق تابع است.

13,15

x=13 طول نقطه ماکزیمم مطلق تابع است و x=15 طول نقطه مینیمم مطلق تابع است.

16,20

x=16 طول نقطه مینیمم مطلق تابع است و x=20 طول نقطه ماکزیمم مطلق تابع است.

تمرین

وجود ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق را برای تابع ناپیوسته زیر در بازه های بیان شده، بررسی می‌کنیم:

اکسترمم های مطلق - پیمان گردلو

-1,0

در این بازه ماکزیمم و مینیمم مطلق وجود ندارد. 

5,10

در این بازه ماکزیمم مطلق وجود ندارد و x=9 طول مینیمم مطلق تابع است.

10,13

در این بازه و مینیمم مطلق وجود ندارد و x=12 طول ماکزیمم مطلق تابع است.

13,15

در این بازه ماکزیمم و مینیمم مطلق وجود ندارد.  

16,20

در این بازه ماکزیمم و مینیمم مطلق وجود ندارد. 

 3- اگر c یک نقطه درونی بازه I باشد به‌طوری‌که تابع y=fx در c اکسترمم مطلق (ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق) داشته باشد، در این صورت تابع f در c اکسترمم نسبی (ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی) دارد.

تمرین

اکسترمم های مطلق و اکسترمم های نسبی را در نمودارهای زیر مشخص کنید.

اکسترمم های مطلق - پیمان گردلو

شکل سمت راست:

A: مینیمم مطلق

B: ماکزیمم نسبی

C: مینیمم نسبی

D:ماکزیمم مطلق

شکل وسط:

A: نه اکسترمم مطلق و نه اکسترمم نسبی

B: ماکزیمم نسبی

C: مینیمم مطلق و مینیمم نسبی

D: ماکزیمم مطلق

شکل سمت چپ:

A: نه اکسترمم مطلق و نه اکسترمم نسبی 

B: ماکزیمم مطلق و ماکزیمم نسبی 

C: مینیمم مطلق و مینیمم نسبی

D: نه اکسترمم مطلق و نه اکسترمم نسبی

تمرین

اکسترمم های مطلق و اکسترمم های نسبی را در نمودارهای زیر مشخص کنید.

اکسترمم های مطلق - پیمان گردلو

شکل الف:

نقطه c مینیمم مطلق و نقطه b ماکزیمم مطلق است.

شکل ب:

مینیمم مطلق ندارد و نقطه c  ماکزیمم مطلق و نسبی است.

شکل پ:

نقطه k مینیمم مطلق و نقطه a ماکزیمم مطلق است.

تمرین

به نمودار زیر توجه کنید:

اکسترمم های مطلق - پیمان گردلو

اکسترمم های مطلق و اکسترمم های نسبی را در نمودار فوق در یک جدول نشان دهید:

اکسترمم های مطلق - پیمان گردلو

4- اکسترمم های نسبی را محلی هم می‌نامند. فرق بین اکسترمم های مطلق و نسبی در این است که: 

  • اکسترمم های نسبی، فقط برای نقاط بین a,b اطلاق می‌شود، زیرا تعریف همسایگی برای این نقاط مهم است.
  • اکسترمم های مطلق نه فقط برای مقادیر بین a,b بلکه برای خود نقاط a و b یعنی نقاط انتهایی، صادق است.   

تمرین

اکسترمم های مطلق و اکسترمم های نسبی را در نمودارهای زیر مشخص کنید.

اکسترمم های مطلق - پیمان گردلو

شکل الف:

مینیمم مطلق ندارد.

نقطه x=c ماکزیمم مطلق است.

نقطه x=e مینیمم نسبی است.

ماکزیمم نسبی ندارد.

شکل ب:

نقطه x=e مینیمم مطلق است.

نقطه x=a ماکزیمم مطلق است.

مینیمم نسبی ندارد.

ماکزیمم نسبی ندارد.

شکل پ:

بازه c,+ مینیمم مطلق است. 

نقطه x=b ماکزیمم مطلق است.

بازه c,+ مینیمم نسبی است. 

نقطه x=b ماکزیمم نسبی است.

 5- اکسترمم های مطلق (ماکزیمم و مینیمم مطلق) از نظر مقدار منحصر به فرد است اما ممکن است در چندین نقطه رخ دهند. 

تمرین

تابع با ضابطه y=sinx بگیرید. نمودار این تابع در زیر رسم شده است:

اکسترمم های مطلق - پیمان گردلو

اکسترمم های مطلق این تابع را بدست آورید.

تابع در دامنه اش، دارای مقدار ماکزیمم مطلق 1 است و در نقاط x=2kπ+π2 به کرات رخ می‌دهد.  


تابع در دامنه اش، دارای مقدار مینیمم مطلق -1 است و در نقاط x=2kπ-π2 به کرات رخ می‌دهد.    

 6- یکی از ویژگی‌های توابع پیوسته در یک بازه بسته مانند بازه a,b وجود اکسترمم های مطلق و کراندار بودن توابع است.

توابع کراندار را قبلا بررسی کردیم و خواصی از آنها را بیان کردیم.

ثابت کردیم هرگاه تابعی در یک نقطه حد متناهی داشته باشد آنگاه در یک همسایگی آن نقطه کراندار است.

پس اگر f در یک نقطه مانند a پیوسته باشد، یک همسایگی aα,a+α با شرط α>0 وجود دارد که f بر آن کراندار است.

وقتی تابع در a پیوسته است، پس در a دارای حد متناهی است، در نتیجه در یک همسایگی a کراندار است.

دریافت مثال

اکسترمم های مطلق در توابع پیوسته با استفاده از مفهوم مشتق

تعریف: اگر تابع y=fx در بازه بسته a,b پیوسته باشد، آنگاه f دارای ماکزیمم و مینیمم مطلق است. 

نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلقِ یک تابع، در نقاط بحرانی آن رخ می‌دهد.

برای یافتن اکسترمم مطلق تابع پیوسته، در بازه بسته a,b داریم:

  1. نقاط بحرانی تابع f را روی بازه a,b پیدا می‌کنیم.
  2. مقدار f را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه، یعنی a و b بدست می‌آوریم.
  3. جدول زیر را تشکیل داده و در بین مقادیر بدست آمده برای تابع f بزرگترین آنها، ماکزیمم مطلق و کوچکترین آنها، مینیمم مطلق است.  

اکسترمم های مطلق - پیمان گردلو

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

اکسترمم‌های مطلق

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید