سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

نقاط بحرانی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 41 مرتبه

تعریف: نقطه c یک نقطه بحرانی برای تابع y=fx است، هرگاه f در cDf تعریف شده باشد و یکی از دو شرط زیر برقرار باشد:

شرط اول- f' در نقطه c وجود نداشته باشد، یعنی نقطه ناپیوسته یا زاویه دار یا بازگشتی یا عطف قائم باشد.

  نقاط بحرانی - پیمان گردلو

نقاط بحرانی - پیمان گردلو

شرط دوم- f' در نقطه c صفر شود، یعنی f'c=0.

نقاط بحرانی - پیمان گردلو

تمرین

نقاط بحرانی توابع زیر را بدست آورید:

fx=x

f'0=limx0fxf0x0=limx0xx=   1      ;      x0+1      ;      x0


شرط اول برقرار است:

f' در x=0 وجود ندارد و نقطه زاویه دار است، پس یک نقطه بحرانی است.


نقاط بحرانی - پیمان گردلو

fx=1x23

if  fx=1x23f'x=23x3


شرط اول برقرار است:

f' در x=0 نامتناهی و نقطه بازگشت است، پس یک نقطه بحرانی است.


نقاط بحرانی - پیمان گردلو

fx=xx253

fx=xx253       ;    x0xx253     ;     x<0   f'x=5x233x2523    ;    x>05x233x2523    ;    x<0


f' در x=0 وجود ندارد و نقطه زاویه دار است، پس یک نقطه بحرانی است.

f'+0=53f'0=53


 f' در نقاط x=±5 نامتناهی و نقطه بازگشت است، پس نقاط بحرانی است.

f'5=+f'5=


 f' در نقاط x=±3 ریشه های مشتق هستند، پس نقاط بحرانی است.

f'3=0f'3=0

بنابراین تابع پنج نقطه بحرانی دارد.

fx=x33x2+1

fx=x33x2+1f'x=3x26x    ;    f'x=03x26x=0x=0x=2


f' در نقاط x=0x=2 ریشه های مشتق هستند، پس نقاط بحرانی است.

f'0=0f'2=0


نقاط بحرانی - پیمان گردلو

gx=1+x2x

Dg=R0

if  gx=1+x2xg'x=2x21+x2x1+x2x2g'x=1x21+x2


مشتق در هیچ نقطه ای صفر نمی‌شود.

در x=0 مشتق وجود ندارد اما چون g در x=0 تعریف نشده است، پس x=0 نقطه بحرانی نیست و g نقطه بحرانی ندارد.


نقاط بحرانی - پیمان گردلو 

fx=x22x+3    ;    x<2x26x           ;    x2

if  x<2fx=x22x+3f'x=2x2=0x=1f'1=0if  x>2fx=x26xf'x=2x6=0x=3f'3=0


توجه شود که f در نقطه x=2 مشتق پذیر نیست زیرا در این نقطه ناپیوسته است.


نقاط بحرانی تابع f عبارتند از x=1,2,3.

fx=x12x23

if  fx=x12x23f'x=2x1x23+x123x223f'x=6x1x2+x123x223f'x=x17x133x223

نقاط بحرانی تابع f عبارتند از x=1,2,137.

نکته

نقاط ابتدا و انتها بازه به دلیل این‌که نقاط درونی بازه نیستند، جزء نقاط بحرانی محسوب نمی‌شوند.

تمرین

نقاط بحرانی تابع زیر را بررسی کنید.

fx=4x2

Df   :  4x20x242x2     ;   Df=2,2


f'x=2x24x2


x=0 طول نقطه بحرانی است، زیرا به ازای آن f'0=0 است.


x=±2 ریشه های مخرجِ مشتق، طول نقاط بحرانی نیستند، زیرا نقاط ابتدا و انتهای دامنه تابع هستند.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید