لیست

سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

نقاط بحرانی

آخرین ویرایش: 29 مهر 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:

تعریف: نقطه c یک نقطه بحرانی برای تابع y=fx است، هرگاه f در cDf تعریف شده باشد و یکی از دو شرط زیر برقرار باشد:

شرط اول- f' در نقطه c وجود نداشته باشد، یعنی نقطه ناپیوسته یا زاویه دار یا بازگشتی یا عطف قائم باشد.

  نقاط بحرانی - پیمان گردلو

نقاط بحرانی - پیمان گردلو

شرط دوم- f' در نقطه c صفر شود، یعنی f'c=0.

نقاط بحرانی - پیمان گردلو

تمرین

نقاط بحرانی توابع زیر را بدست آورید:

fx=x

f'0=limx0fxf0x0=limx0xx=   1      ;      x0+1      ;      x0


شرط اول برقرار است:

f' در x=0 وجود ندارد و نقطه زاویه دار است، پس یک نقطه بحرانی است.


نقاط بحرانی - پیمان گردلو

fx=1x23

if  fx=1x23f'x=23x3


شرط اول برقرار است:

f' در x=0 نامتناهی و نقطه بازگشت است، پس یک نقطه بحرانی است.


نقاط بحرانی - پیمان گردلو

fx=xx253

fx=xx253       ;    x0xx253     ;     x<0   f'x=5x233x2523    ;    x>05x233x2523    ;    x<0


f' در x=0 وجود ندارد و نقطه زاویه دار است، پس یک نقطه بحرانی است.

f'+0=53f'0=53


 f' در نقاط x=±5 نامتناهی و نقطه بازگشت است، پس نقاط بحرانی است.

f'5=+f'5=


 f' در نقاط x=±3 ریشه های مشتق هستند، پس نقاط بحرانی است.

f'3=0f'3=0

بنابراین تابع پنج نقطه بحرانی دارد.

fx=x33x2+1

fx=x33x2+1f'x=3x26x    ;    f'x=03x26x=0x=0x=2


f' در نقاط x=0x=2 ریشه های مشتق هستند، پس نقاط بحرانی است.

f'0=0f'2=0


نقاط بحرانی - پیمان گردلو

gx=1+x2x

Dg=R0

if  gx=1+x2xg'x=2x21+x2x1+x2x2g'x=1x21+x2


مشتق در هیچ نقطه ای صفر نمی‌شود.


در x=0 مشتق وجود ندارد اما چون g در x=0 تعریف نشده است، پس x=0 نقطه بحرانی نیست و g نقطه بحرانی ندارد.


نقاط بحرانی - پیمان گردلو 

fx=x22x+3    ;    x<2x26x           ;    x2

if  x<2fx=x22x+3f'x=2x2=0x=1f'1=0if  x>2fx=x26xf'x=2x6=0x=3f'3=0


توجه شود که f در نقطه x=2 مشتق پذیر نیست زیرا در این نقطه ناپیوسته است.


نقاط بحرانی تابع f عبارتند از x=1,2,3.

fx=x12x23

if  fx=x12x23f'x=2x1x23+x123x223f'x=6x1x2+x123x223f'x=x17x133x223


نقاط بحرانی تابع f عبارتند از x=1,2,137.

f(x)=6x5+33x430x3+100

f'(x)=30x4+132x390x2


f'(x)=6x2(5x2+22x15)


f'(x)=6x2(5x3)(x+5)


نقاط بحرانی تابع f عبارتند از x=5,x=0,x=35.

g(t)=t23(2t1)

g(t)=t23(2t1)


g(t)=2t53t23


g'(t)=103t2323t13


g'(t)=10t23323t13


g'(t)=10t23t13


نقاط بحرانی تابع g عبارتند از t=0,t=15.

h(t)=10te3t2

h'(t)=10e3t2+10te3t2(2t)


h'(t)=10e3t220t2e3t2


h'(t)=10e3t2(12t2) ; h'(t)=0


10e3t2(12t2) =0


12t2=01=2t212=t2t=±12


نقاط بحرانی تابع h عبارتند از t=12 , t=-12.

f(x)=x2ln(3x)+6

f'(x)=2xln(3x)+x2(33x)


f'(x)=2xln(3x)+x


f'(x)=x(2ln(3x)+1) ; f'(x)=0


x=02ln3x+1=0


2ln(3x)+1=0ln(3x)=12


eln(3x)=e123x=e12x=13e12x=13e


نقاط بحرانی تابع f عبارت است از x=13e.


توجه شود که x=0 نقطه بحرانی نیست زیرا در دامنه تابع وجود ندارد.

f(x)=xex2

f'(x)=ex2+xex2(2x)


f'(x)=ex2(1+2x2)


مشتق به ازای هیچ مقداری، صفر نمی‌شود، بنابراین تابع نقاط بحرانی ندارد.  

نکته

نقاط ابتدا و انتها بازه به دلیل این‌که نقاط درونی بازه نیستند، جزء نقاط بحرانی محسوب نمی‌شوند.

تمرین

نقاط بحرانی تابع زیر را بررسی کنید.

fx=4x2

Df   :  4x20x242x2     ;   Df=2,2


f'x=2x24x2


x=0 طول نقطه بحرانی است، زیرا به ازای آن f'0=0 است.


x=±2 ریشه های مخرجِ مشتق، طول نقاط بحرانی نیستند، زیرا نقاط ابتدا و انتهای دامنه تابع هستند.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید