سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

کاربرد مشتق در مسائل بهینه سازی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

مقدمه: افراد در طول روز کارهای بسیاری انجام می‌دهند، به جاهای مختلفی می‌روند، از وسایل متنوعی استفاده می‌کنند‌، خرید می‌کنند، درس می‌خوانند و .... درتمام این فعالیت‌ها، هدف آن است که بهترین تصمیم ها اتخاذ گردند.

مدیر یک شرکت تولیدی همواره به دنبال آن است که بیشترین سود را با صرف کمترین هزینه کسب نماید.

مسائل بهینه سازی - پیمان گردلو

یک باغدار را در نظر بگیرید که با استفاده از روش‌های نوین کشاورزی، درصدد آن است که با صرف کمترین هزینه، بیشترین مقدار محصول را از واحد سطح برداشت کند.

مسائل بهینه سازی - پیمان گردلو

چنین مسئله‌هایی در زمره مسائل بهینه سازی هستند که برخی از آنها به کمک مشتق قابل حل‌اند. 

در اینجا مسائلی را با هدف ماکزیمم کردن مساحت، حجم، سود یا مینیمم کردن فاصله، زمان و هزینه بررسی خواهیم کرد.

تمرین

فرض کنید 14 چوب کبریت در اختیار داشته باشیم و طول هر کدام از آنها را یک واحد در نظر بگیریم.

با استفاده از همه این چوب کبریت‌ها، مستطیل می‌سازیم. نتیجه کار در سه حالت مختلف در شکل زیر آمده است:

مسائل بهینه سازی - پیمان گردلو

محیط مستطیل ها چقدر است؟

در هر سه حالت، محیط مستطیل ها ثابت و برابر 14 واحد است.

مساحت مستطیل ها چقدر است؟

در این مستطیل های هم محیط، دیده می‌شود که مساحت ها برابر نیستند و به ترتیب برابر 6 و 10 و 12 واحد مربع هستند.

رابطه طول و عرض مستطیل با مساحت را بیان کنید.

مشاهده می‌شود که هر چقدر اندازه طول و عرض یک مستطیل به هم نزدیک‌تر می‌شود، مساحت آن بزرگتر می‌شود.

جدولی تهیه کنید که در آن ابعاد و مساحت چند مستطیل با محیط 14 واحد آمده است.  

مسائل بهینه سازی - پیمان گردلو


در این جدول، بزرگ‌ترین عددی که برای مساحت مستطیل دیده می‌شود، 12/16 است.

اگر برای طول و عرض مستطیل تنها به اعداد طبیعی محدود نباشیم، آیا می‌توانید مستطیل دیگری با محیط 14 واحد ارائه کنید که مساحت آن از عدد 12/16 واحد مربع هم بزرگ‌تر باشد؟

برای حالتی که مساحت مستطیل، بزرگ‌ترین مقدار ممکن می‌شود، چه حدسی می‌زنید؟

نشان دهید در بین تمام مستطیل های با محیط ثابت 14 مستطیلی بیشترین مساحت را دارد که طول و عرض آن هم اندازه باشند. 

مسائل بهینه سازی - پیمان گردلو


فرض کنیم ابعاد مستطیل l و x باشند. کمیتی که قرار است ماکزیمم شود، مساحت مستطیل است:

S=x.l    ;    1

برای آنکه S به‌صورت تابعی از x بیان شود، می‌توانیم l را بر حسب x بدست آوریم:


محیط مستطیل:

P=142x+l=14x+l=7l=7x    ;    2


با جایگذاری رابطه 2 در 1 خواهیم داشت:

Sx=x7xSx=x2+7x   ;   x0,7


از آنجا که S همواره مشتق پذیر است، برای یافتن نقاط بحرانی آن کافی است ریشه معادله زیر را بدست آوریم:

S'x=0   2x+7=0  x=3/5


x=3/5 طول نقطه بحرانی است. جدول تغییرات S در بازه مورد نظر به شکل زیر است:


مسائل بهینه سازی - پیمان گردلو  

مسائل بهینه سازی - پیمان گردلو

از جدول دیده می‌شود که بیشترین مقدار مساحت 12/25 سانتی‌متر مربع است و این مقدار زمانی حاصل می‌شود که طول و عرض مستطیل هم اندازه و مساوی 3/5 سانتی‌متر باشند، یعنی یک مربع به ضلع 3/5 سانتی‌متر داشته باشیم. 


نمودار تابع S نیز رسم شده است. به نقطه ماکزیمم S در نمودار آن توجه کنید.

نکته

برای حل این‌گونه مسائل باید کاری کنیم که:

1- عبارتی که بر حسب دو متغیر در حال تغییر است به یک متغیر تبدیل شود و این عمل با بدست آوردن یکی از متغیرها بر حسب دیگری از آن عبارت ثابت و جای گذاری در عبارتی که تغییر می‌کند، انجام خواهد شد. 

2- با مشتق گیری از این عبارت، ماکزیمم یا مینیمم آن بدست می‌آید. 

این مسائل در آخر به این مطلب منجر می‌شوند که دو عبارت شامل دو متغیر به دست می‌آید که یکی از آنها مقدار ثابتی دارد و عبارت دیگر مرتبا تغییر می‌کند و ما می‌خواهیم تعیین کنیم عبارت دوم چه موقع ماکزیمم یا مینیمم می‌باشد. 

تمرین

ورق فلزی مربع شکلی به طول 30 cm را در نظر بگیرید.

مسائل بهینه سازی - پیمان گردلو

مطابق شکل می‌خواهیم از چهار گوشه آن مربع های کوچکی به ضلع برش بزنیم و آنها را کنار بگذاریم، سپس با تا کردن ورق در امتداد خط‌چین‌های مشخص شده در شکل، یک جعبه در باز بسازیم.

مقدار x چقدر باشد تا حجم قوطی، حداکثر مقدار ممکن گردد؟

مسائل بهینه سازی - پیمان گردلو


ارتفاع مکعب حاصل مساوی x است.

طول و عرض قاعده آن را با l نمایش می‌دهیم. آنچه قرار است ماکزیمم شود، مقدار حجم مکعب مستطیل است:

V=xl2


باید l را بر حسب x در این رابطه قرار دهیم تا V تابعی یک متغیره از x شود:

2x+l=30   l=302xV=xl2Vx=x302x2Vx=x900120x+4x2Vx=4x3120x2+900x    ;    x0,15


نقاط بحرانی تابع Vx را بدست می‌آوریم:

V'x=012x2240x+900=0x220x+75=0x5x15=0x=5        x=15    0,15


جدول تغییرات تابع V در بازه مورد نظر به صورت زیر است:


مسائل بهینه سازی - پیمان گردلو

با توجه به جدول، بیشترین حجم ممکن برای مکعب مستطیل مورد نظر 2000cm3 است که به ازای x=5 cm حاصل می‌شود.

تمرین

یک مستطیل در یک نیم دایره محاط شده است:

مسائل بهینه سازی - پیمان گردلو

اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.

y2+x2=42y2=16x2y=16x2


مساحت مستطیل:

S=2x.ySx=2x.16x2

S'x=216x2+2x216x22x=216x22x216x2=216x22x216x2=324x216x2

S'x=0324x2=0x2=8x=±8


با توجه به این‌که x=8 قابل قبول است، مقدار y به صورت زیر محاسبه می‌شود:

y=16x2=1682=8


به ازای x=y=8 مساحت مستطیل به بیشترین مقدار ممکن خود می‌رسد. 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

کاربرد مشتق در مسائل بهینه سازی

8,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید