سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

رسم منحنی (توابع کسری گویا)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

منحنی نمایش توابع کسری گویا

برای رسم منحنی های توابع کسری گویا، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

مرحله اول: از معادله تابع نسبت به x مشتق می‌گیریم آن را مساوی صفر قرار می‌دهیم و ریشه های حقیقی مشتق را پیدا می‌کنیم:

  • ریشه های حقیقی ساده مشتق، طول نقاط ماکزیمم یا مینیمم منحنی تابع است.               
  • ریشه های حقیقی مضاعف مشتق اول، طول نقاط عطف منحنی تابع است.
  • ریشه های حقیقی ساده مشتق دوم، طول نقاط عطف منحنی تابع است.

مرحله دوم: مجانب های افقی، مایل یا قائم توابع را در صورت وجود پیدا می‌کنیم.

یادآوری

اگر منحنی تابع، مجانب افقی یا مایل داشته باشد، شروع آن از سمت چپ مجانب افقی یا مایل است و پایان منحنی به سمت راست مجانب افقی یا مایل است.

منحنی ها هیچ وقت مجانب قائم را قطع نمی‌کند ولی مجانب های افقی و مایل را گاهی در اواسط شکل قطع می‌کند.

در مجانب قائم، وقتی y± میل می‌کند، آنگاه باید مخرج کسر برابر صفر شود که در این صورت دو حالت به وجود می‌آید:

حالت اول:

اگر x=x0 ریشه ساده مخرج باشد، خط x=x0 را خط انفصال ساده گوئیم و اهمیتش در تشکیل جدول توابع کسری آن است که: 

1- مشتق به ازای این نقطه صفر نمی‌شود و نامعین است.

2- در سمت چپ این خط، بی نهایتی را قرار می‌دهیم که هم علامت با مشتق باشد و در سمت راست این خط، بی نهایتی را قرار می‌دهیم که هم علامت با مشتق نباشد.

حالت دوم:

اگر x=x0 ریشه مضاعف مخرج باشد، خط x=x0 را خط انفصال مضاعف گوئیم و اهمیتش در تشکیل جدول توابع کسری آن است که: 

1- به ازای ریشه مضاعف مخرج، y' تغییر علامت می‌دهد ولی صفر نمی‌شود.

2- در جدول تغییرات دو طرف خط انفصال دو بی نهایت هم‌علامت است.

 مرحله سوم: یافتن نقاط تقاطع منحنی تابع با محورهای مختصات

به x صفر می‌دهیم y را پیدا می‌کنیم. (نقطه تقاطع منحنی تابع با محور عرض ها)

به y صفر می‌دهیم x را پیدا می‌کنیم. (نقطه تقاطع منحنی تابع با محور طول ها)

اگر معادله y=0 قابل حل نباشد یا دارای جواب های رادیکالی و کسری باشد، بهتر است از x های کمکی استفاده کنیم.

مرحله چهارم: جدول تغییرات تابع را رسم می‌کنیم. 

با توجه به رعایت علامت  های جدول، از نظر شروع و پایان منحنی، منحنی را رسم می‌کنیم.

  • در فواصلی که مشتق مثبت است، تابع صعودی است که ردیف y را با علامت  مشخص می‌کنیم.
  • در فواصلی که مشتق منفی است، تابع نزولی است که ردیف y را با علامت  مشخص می‌کنیم.

تمرین

منحنی نمایش تابع کسری y=2x+12x1 را رسم کنید.

مرحله اول:

y'=22x122x+12x12=4x24x22x12=42x12<0


مشتق تابع ریشه ندارد و همواره منفی است زیرا y'<0 و تابع همواه اکیدا نزولی می‌باشد.

مرحله دوم:

محاسبه مجانب افقی:

y=limx±fx=limx±2x+12x1=1


محاسبه مجانب قائم:

if y±2x1=0x=12


خط x=12 را خط انفصال ساده می‌گوئیم، زیرا ریشه ساده مخرج کسر است. 

مرحله سوم و چهارم:

منحنی توابع کسری گویا - پیمان گردلو


دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

رسم منحنی (توابع کسری گویا)

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید