سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

بررسی نمودار بعضی توابع (درجه سوم)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 60 مرتبه

نمودار تابع درجه سومy=ax3+bx2+cx+d

برای رسم نمودار تابع درجه سوم، مشتق تابع را مساوی صفر قرار دهیم، سه حالت پیش می‌آید:

y=ax3+bx2+cx+dy'=3ax2+2bx+c     ;     y'=03ax2+2bx+c=0

حالت اول:

Δ>02b243ac>0b23ac>0

  • y'=0 است و مشتق دو ریشه متمایز دارد و تابع دارای یک ماکزیمم و یک مینیمم است.
  • اگر a>0 باشد، منحنی از ناحیه سوم شروع و به ناحیه اول ختم می‌شود.
  • اگر a<0 باشد، منحنی از ناحیه دوم شروع و به ناحیه چهارم ختم می‌شود.

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو

  • نقطه I وسط پاره خطی است که نقطه ماکزیمم را به نقطه مینیمم وصل می‌کند.

ymax+ymin=2yΙxmax+xmin=2xΙ

  • برای بررسی ریشه های معادله درجه سوم ax3+bx2+cx+d=0 با شرط b2>3ac داریم:  
  1. اگر ymax×ymin>0 معادله یک ریشه ساده  دارد.
  2. اگر ymax×ymin=0 معادله یک ریشه ساده و یک ریشه مضاعف دارد.
  3. اگر ymax×ymin<0 معادله سه ریشه ساده دارد.
  • در نمودار توابع زیر، a>0 است:

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو

  • در نمودار توابع زیر، a<0 است:

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو

  • اگر منحنی یک تابع درجه سه، محور x ها را در بیش از یک نقطه قطع کند، دارای یک ماکزیمم یک مینیمم است.  

حالت دوم:

Δ=02b243ac=0b23ac=0

  • y'=0 است و  یک ریشه مضاعف دارد و منحنی نقاط اکسترمم ندارد.
  • ریشه مضاعف، طول نقطه عطف (یا مرکز تقارن) است.
  • در نقطه عطف مشتق اول صفراست در این حالت مماس بر منحنی در نقطه عطف موازی محور x ها است.

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو

  • هر معادله درجه سوم با شرط b2=3ac یک ریشه ساده یا سه ریشه مساوی دارد.  

حالت سوم:

Δ<02b243ac<0b23ac<0b2<3ac

  • y'=0 ریشه ندارد و منحنی نقاط اکسترمم ندارد.
  • از y''=0 نقطه عطف (یا مرکز تقارن) منحنی را بدست می‌آوریم، دراین حالت مماس بر منحنی در نقطه عطف موازی محور x ها نیست و ضریب زاویه آن با قرار دادن طول نقطه عطف در y' بدست می‌آید.

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو 

  • هر معادله درجه سوم با شرط b2<3ac فقط یک ریشه ساده دارد و محور x ها را در یک نقطه قطع می‌کند. 

              اگر d>0 باشد، طول نقطه منفی است. 

              اگر d<0 باشد، طول نقطه مثبت است. 

نکته

در تابع درجه سوم fx=ax3+bx2+cx+d نقطه عطف تابع، مرکز تقارن نمودار تابع است و طول نقطه عطف برابر x=b3a است.


fx=ax3+bx2+cx+df'x=3ax2+2bx+cf''x=6ax+2b    ;    f''x=06ax+2b=0x=b3a

نکته

نقطه عطف در توابع درجه سوم زیر را معرفی می‌کنیم:

if  fx=xa3Ιa,0if   fx=xa3+xb3Ιa+b÷2,0if   fx=ax3+bx2+cx+dif  fx+fx=kb=0  ,  I0,k2fx=ax3+cx+d  I0,d

 نمودارهای تقریبی fx=xn+px+q

اگر n عددی مثبت و فرد باشد، تابع در R پیوسته و مشتق پذیر است.

iffx=xn+px+qf'x=nxn1+p

چون n فرد است پس n-1 زوج است، برای p دو حالت در نظر می‌گیریم:

حالت اول: اگر p>0 باشد، تابع f اکیدا صعودی است.

if  p>0f'x=nxn1+p>0f'x>0

limx±fx=limx±xn=±    ;    n=2k+1

فقط محور x ها را می‌تواند در یک نقطه قطع کند و معادله یک ریشه حقیقی دارد.

تمرین

نمودار تابع fx=x3+2x+1 به‌صورت زیر است:

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو

 حالت دوم: اگر p<0 باشد:

f'x=nxn1+pnxn1+p=0    ;    f'x=0nxn1=pxn1=pnx=±pnn1

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو

نمودار تقریبی تابع به یکی از صورت‌های زیر می‌باشد:

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو

در شکل سمت چپ: اگر fx1fx2>0 در این صورت نقاط اکسترمم در یک طرف محورx ها می‌باشد و معادله فقط یک ریشه حقیقی دارد.

در شکل وسط: اگر fx1fx2=0 در این صورت یکی از مقادیر ماکزیمم یا مینیمم صفر است و معادله یک ریشه مضاعف و یک ریشه ساده خواهد داشت.

در شکل سمت راست: اگر fx1fx2<0 در این صورت معادله سه ریشه حقیقی دارد.

تمرین

ثابت کنيد نقطه عطف تابع y=2x36x2+5x2 مرکز تقارن نمودار آن است.

y=2x36x2+5x2y'=6x212x+5y''=12x12     ;     y''=012x12=0x=1     ;     y=2x36x2+5x2y=1


A1,1 نقطه عطف تابع مزبور است، حال مبدا مختصات را به نقطه 1,1 انتقال می‌دهيم، خواهيم داشت:

x=X+1y=Y1


معادله منحنی در دستگاه جديد:

Y1=2X+136X+12+5X+12Y=2X3X


اگر XXYY آن‌گاه معادله تغيير نمی‌كند، پس مبدا مختصات جديد A1,1 مرکز تقارن است.

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو 

مختصات مرکز تقارن تابع y=3x13+x را بيابيد.

y=3x13+xy'=9x12+1y''=18x1         ;        y''=018x1=0x=1         ;       y=3x13+xy=1


A1,1 نقطه عطف تابع و مرکز تقارن تابع است.

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو

اگر مماس بر نمودار تابع y=mx3+6x23x+1 در نقطه x=-2 از نمودار عبور کند m چقدر است؟ 

در نقطه عطف، مماس بر نمودار از نمودار عبور می‌کند، پس x=-2 طول نقطه عطف است:

x=b3a2=63mm=1

نقاط max و min نسبی و نقطه عطف تابع f به‌معادله y=x33x2+5 را به‌دست آوريد و نشان دهيد نقطه عطف، وسط پاره‌خط واصل بين نقاط max و min نسبی است. 

y'=3x26x=0x=0y=5x=2y=1


A0,5 و B2,1 نقاط اکسترمم نسبی هستند.

y''=6x6=0x=1y=3


I1,3 نقطه عطف تابع مزبور است و تساوی‌های زیر برقرار است:

xI=xA+xB2yI=yA+yB2


یعنی نقطه عطف، وسط پاره‌خط واصل بين نقاط max و min نسبی است. 

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو

مجموع مقادير max و min نسبی تابع y=5x37x+1 را به‌دست آورید. 

اگر y1 و y2 به‌ترتيب مقادير max و min نسبی تابع تابع فوق باشد، آن‌گاه (y1 عرض نقطه عطف) به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:  

yI=y1+y22y=5x37x+1y'=15x27y''=30x    ;     y''=030x=0x=0      ;     y=5x37x+1y=1


پس I0,1 نقطه عطف اين تابع است:

if  yI=y1+y221=y1+y22y1+y2=2

به‌ازای چه مقداری از a خط x+2y=a از نقاط اکسترمم تابع y=x33x2+2x1 می‌گذرد؟

خطی که از نقاط اکسترمم تابع درجه 3  می‌گذرد، از نقطه عطف هم می‌گذرد:

y=x33x2+2x1y'=3x26x+2y''=6x6        ;       y''=06x6=0x=1         ;       y=x33x2+2x1y=1


I1,1 نقطه عطف منحنی است و مختصاتش در معادله خط x+2y=a صدق می‌کند:

1+21=aa=1

به‌ازای چه مقداری از m تابع fx=mx3+3x2+mx+2 اکيدا صعودی است؟

شرط اين‌که f اکيدا صعودی باشد آن است که f'>0 باشد:

fx=mx3+3x2+mx+2f'x=3mx2+6x+m>0


اما شرط آن‌که f'x=3mx2+6x+m به‌عنوان يک تابع درجه دوم همواره مثبت باشد، آن است که:

a>0Δ0m>093m20m3m3m3  m3

نمودار تابع درجه سوم در شکل زیر رسم شده است، معادله آن را بيابيد.

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو

fx=ax3+bx2+cx+df'x=3ax2+2bx+c


0,0 مختصات نقطه max نسبی است:

f0=0d=0f'0=0c=0fx=ax3+bx2


x=2 طول min نسبی است:

f'2=012a+4b=0b=3afx=ax3+3ax2fx=ax33x2   ,   a>0

خط y=x از نقطه عطف تابع درجه سومی گذشته و نمودار را در دو نقطه A و B به طول‌های 2 و 0 قطع کرده است، اين تابع بر خط y=3x در مبدا مماس است، معادله تابع را بيابيد.

نمودار تابع درجه سوم - پیمان گردلو

fx=ax3+bx2+cx+df'x=3ax2+2bx+c


نقاط A2,2 و O0,0 از تابع fx می‌گذرد:

O0,0ff0=0d=0


نقطه I (نقطه عطف) وسط پاره خطی است که نقطه max را به نقطه min وصل می‌کند و داریم:

ymax+ymin=2yΙxmax+xmin=2xΙxmax+xmin=2xΙxΙ=xmax+xmin2xΙ=2+02xΙ=1      ;       y=xyΙ=1


نقطه Ι1,1 مختصات نقطه عطف است:

x=b3a1=b3a3a+b=0f1=11=a+b+c


تابع بر خط y=3x در مبدا مماس است:

f'0=3c=33a+b=0a+b+c=1c=3a=1b=3c=3fx=x33x2+3x

در تابع درجه سوم fx=ax3+bx2+cx+d اگر fx+fx=k باشد، مختصات نقطه عطف تابع را بيابيد.

fx+fx=kax3+bx2+cx+d+ax3+bx2cx+d=k2bx2+2d=k2b=0b=02d=kd=k2



fx=ax3+bx2+cx+dfx=ax3+cx+k2      ;     b=0d=k2f'x=3ax2+cf''x=6ax    ;    f''x=06ax=0x=0     ;    fx=ax3+cx+k2y=k2


I0,k2 نقطه عطف است.

در تابع درجه سوم y=x3+bx2+cx+d نقطه عطف به طول x=1 و نمودار در x=2 بر محور xها مماس است. عرض نقطه max را بيابيد.   

fx=x3+bx2+cx+df'x=3x2+2bx+c


a=1>0 بنابراین 2,0 نقطه min نسبی است:

iff2=023322+d=0d=4xmax+xmin=2xΙxmax+2=21xmax=0



fx=x3+bx2+cx+df'x=3x2+2bx+c    ,    f'0=0302+2b0+c=0c=0



f''x=6x+2b6+2b=0         ;       f''1=0b=3

fx=x3+bx2+cx+dfx=x33x2+d      ;        b=3c=0if  fx=x33x2+4xmax=0ymax=4

در تابع y=x35x+4 مجموع عرض‌های نقاط ماکزيمم و مينمم چقدر است؟ 

ymax+ymin=2yI

y=x35x+4y'=3x25y''=6x       ;       y''=06x=0x=0        ;       y=x35x+4y=4


I0,4 نقطه عطف تابع است:

ymax+ymin=2yIymax+ymin=2×4ymax+ymin=8

برای ارسال نظر وارد سایت شوید