سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

بررسی نمودار بعضی توابع (هموگرافیک)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 35 مرتبه

نمودار تابع هموگرافیکy=ax+bcx+d 

برای رسم نمودار تابع هموگرافیک، مشتق تابع را بدست می‌آوریم:

y=ax+bcx+dy'=adbccx+d2

حالت اول:

if  adbc>0y'>0

تابع در فواصل ,dc,dc,+ اکیدا صعودی است.

حالت دوم:

if  adbc<0y'<0

تابع در فواصل ,dc,dc,+ اکیدا نزولی است.

نمودار تابع هموگرافیک - پیمان گردلو

Df=Rdc  ,  Rf=Rac

1- تقارن و مجانب در تابع هموگرافیک

  • نمودار تابع دارای یک مجانب قائم به معادله x=-dc و یک مجانب افقی به معادله y=ac است.
  • محل تقاطع این دو مجانب، نقطه ωdc,ac مرکز تقارن منحنی است.
  • دو محور تقارن منحنی به معادلات y=x+a+dc و y=-x+a-dc است که از نقطه تقارن هم می‌گذرند.

2- رئوس هذلولی، نقاط تقاطع منحنی با محور قاطع است که طول آن از معادله زیر بدست می‌آید:

cx+d2=adbc

3- در دو حالت تابع به خط تبدیل می‌شود:

if  c=0y=adx+bd

if   ac=bdy=ac=bd        ;       ac=bd        abcd=0

4- این تابع فاقد نقطه اکسترمم و عطف است ولی باید بدانیم که تابع هموگرافیک در نقطه ای به طول x=-dc تقعرش عوض می‌شود.

5- اگر محورهای مختصات را به موازات خود تا نقطه O' محل تلاقی مجانب های انتقال دهیم، معادله جدید منحنی به صورت زیر محاسبه می‌شود: 

y=ax+bcx+dY+ac=aXdc+bcXdc+d    ;    x=X+dcy=Y+ac                         Y+ac=aXadc+bcX                         Y= bcadc2X                         Y=kX

معادله جدید منحنی به صورت Y=kX خواهد شد که در آن k=bcadc2 است.

6- معادله ضمنی تابع هموگرافیک 

هر معادله به صورت mxy+px+gy+r=0 می‌تواند معادله ضمنی یک تابع هموگرافیک باشد.

این معادله چند کاربرد دارد:

کاربرد اول:

  • دو تابع هموگرافیک متمایز حداکثر در دو نقطه متقاطع هستند، زیرا معادله حاصل از تقاطع آنها حداکثر از درجه دوم است.
  • یک خط و یک تابع هموگرافیک نیز حداکثر در دو نقطه متقاطع هستند.

کاربرد دوم:

اگر دو تابع هموگرافیک متقاطع باشند، معادله خط گذرنده از تقاطع آنها با حذف جمله های xy در معادلات ضمنی بدست می‌آید.

کاربرد سوم:

از معادله ضمنی، درون و برون هموگرافیک مشخص می‌شود و ناحیه شامل مجانب ها، برون تابع هموگرافیک است.

اگر fx,y=0 معادله ضمنی تابع هموگرافیک و α,β تلاقی مجانب ها (یا مرکز تقارن) باشد:

if  fα,βfx1,y1<0

آنگاه نقطه Ax1,y1 درون تابع است و برعکس.

if  fα,βfx1,y1>0

آنگاه نقطه Ax1,y1 برون تابع است و برعکس.

کاربرد چهارم:

از هر نقطه برون تابع هموگرافیک که روی مجانب ها واقع نباشند، همواره می‌توان دو مماس بر آن رسم کرد.

7- در تابع y=kx اگر از نقطه دلخواه M به طول x=α روی تابع، یک مماس بر آن رسم کنیم تا محورها را در A و B قطع کند، آنگاه مساحت مثلث OAB مقدار ثابت 2k است و O مبدا است.

y=kxy'=kx2

معادله مماس به‌صورت زیر است:

ykα=kα2xα

تلاقی معادله مماس را با محورهای مختصات بدست می‌آوریم:

x=0y=kα+kα=2kαy=0x=2αS=12OA.OB=122kα.2a=2k

8- رسم توابع fx=1xa1+1xa2+...+1xan 

نمودار تابع هموگرافیک - پیمان گردلو

این تابع n مجانب قائم دارد و در هر یک از بازه های زیر، اکیدا نزولی است:

an,+,...,a1,a2,,a1

خط y=0 مجانب افقی است پس نمودار به سادگی رسم می‌شود.

معادله زیر را در نظر بگیرید:

1xa1+1xa2+...+1xan=0

با شرط a1<a2<...<an دارای n-1 ریشه می‌باشد که هر کدام در یکی از بازه های زیر قرار دارند:

an1,an  ,  ...  ,  a2,a3  ,  a1,a2

تمرین

به‌ازای چه مقادير m تابع fx=x+m2mx+3  اکيدا نزولی است؟ 

adbc<03m2m<0m2+2m+3<0m22m3>0m<1m>3

بيش‌ترين مقدار تابع با ضابطه fx=x+1x1 را در فاصله 2,+ به‌دست آورید.  

مجانب افقی:

y=1f2=3f'x=2x12<01<y3

نقطه 1,2 مرکز تقارن تابع y=ax+3x+b است، در اين‌صورت a-b را بيابيد.

خط x=-b و خط y=a به‌ترتيب مجانب‌های قائم و افقی تابع است.


b,a مرکز تقارن اين تابع است در نتيجه:

b,a=1,2b=1b=1a=2ab=1

اگر y=x+4y=x محورهای تقارن يک تابع هموگرافيک باشند و محور xها را در نقطه‌ای به‌طول 2 قطع کند، معادله آن را به‌دست آورید.

تلاقی دو محور تقارن، مرکز تقارن تابع است.

y+x=0y=x+4x=2y=2ω2,2


fx=ax+bcx+dfx=2x+bx+2     ;     f2=022+b2+2=04+b=0b=4fx=2x4x+2

به‌ازای چه مقدار a منحنی y=ax+2x1 به يک خط راست تبدیل می‌شود؟  

ac=bda1=21a=2

به‌ازای چه مقادير m تابع با ضابطه fx=x+m+1mx+2 به خط يا دو نيم‌خط تبديل می‌شود؟

اگر c=0 باشد، تابع تبديل به خط y=adx+bd می‌شود:

if   m=0fx=x+12


اگر ac=bd باشد، تابع تبديل به خط افقی y=ac=bd می‌شود: 

if   1m=m+12m2+m=2m2+m2=0m=1m=2


if   m=1fx=x+2x+2=1    ,    x2if   m=2fx=x12x+2=12    ,    x1


هر دو معادله، نیم خط هستند. 

به‌ازای چه مقادير m دو تابع y=x+1x1 و y=2xx+m همواره در دو نقطه متمايز متقاطع‌اند و به‌ازای چه مقدار m بر هم مماس‌اند. 

معادله تقاطع:

y=x+1x1y=2xx+mx+1x1=2xx+mx2m+3xm=0


شرط تقاطع:

Δ>0m+32+4m>0m2+10m+9>0m>1m<9


شرط مماس:

Δ=0m2+10m+9=0m=1    ,    m=9

معادله خطی را بنویسید که از نقاط تقاطع دو منحنی y=2x1x+2 و y=x+3x1 می‌گذرد.

y=2x1x+2xy+2y2x+1=0y=x+3x1xyyx3=0xy+2y2x+1xyyx3=03y=x4

از نقطه A0,2 چند مماس بر تابع y=x2x+1 می‌توان رسم کرد؟

بايستی بررسی کرد A0,2 بيرون تابع است يا درون آن.


اگر A درون تابع باشد که نمی‌توان مماس بر f رسم کرد. 

y=x2x+1yx+1=x2fx,y=xy+yx+2=0


 ω1,1 مرکز تقارن منحنی است:

f0,2.f1,1=02+20+211+11+2=43=12>0


A0,2 نقطه برون f است و از آن دو مماس می‌توان رسم کرد. 

از نقطه 0,2 بر تابع y=x2x+1 مماس‌هایی رسم کرده‌ایم، معادلات خطوط مماس را بیابید. 

معادله فرضی خط مماس:

Ι    yyp=mxxpy2=mx0y=mx+2


معادله اين خط را با معادله منحنی، قطع می‌دهيم:

ΙΙ    y=mx+2y=x2x+1x2x+1=mx+2

x2x+1=mx+2mx2+m+1x+4=0       ;      Δ=0m+1216m=0m=7±43


معادلات مماس:

y=mx+2if  m=7+43y=7+43x+2if  m=743y=743x+2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید