سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

بررسی نمودار بعضی توابع (درجه دوم)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

نمودار تابع درجه دومy=ax2+bx+c

1- نام منحنی، سهمی قائم است و پارامتر آن p=12a است و پارامتر سهمی، فاصله کانون از خط هادی است.

نمودار تابع درجه دوم - پیمان گردلو

کانون سهمی روی خط هادی واقع نمی‌باشد.

خطی را که از کانون بر خط هادی عمود می‌شود، محور سهمی گوئیم که محور تقارن آن نیز هست.

تلاقی محور سهمی را با سهمی، نقطه S می‌نامیم و آن را راس سهمی گوئیم.

2- رابطه اکسترمم تابع با علامت a

  • اگر a>0 باشد، منحنی یک مینیمم دارد، زیرا y''=2a>0 و تقعر منحنی به سمت بالا است.   
  • اگر a<0 باشد، منحنی یک ماکزیمم دارد، زیرا y''=2a<0 و تقعر منحنی به سمت پائین است.   

نمودار تابع درجه دوم - پیمان گردلو

3- منحنی نقطه عطف ندارد.

4- مختصات نقطه اکسترمم که در واقع همان راس سهمی است، عبارت است از:

Sb2a   ,   4acb24a

5- خط x=b2a محور تقارن منحنی است و محور تقارن از نقطه اکسترمم نسبی تابع می‌گذرد.

6- هرگاه خط y=m منحنی تابع درجه دوم را در نقاط A و B قطع کند، معادله مکان هندسی نقطه c وسط AB همان خط x=b2a است.

نمودار تابع درجه دوم - پیمان گردلو  

7- در تابع درجه دوم، اگر عرض های دو نقطه از نمودار با هم مساوی باشند، وسط پاره خط واصل بین این دو نقطه روی محور تقارن تابع قرار دارد. 

AxA,yBxB,yx=xA+xB2

8- نمودار تابع همواره به یکی از صورت های زیر است: 

نمودار تابع درجه دوم - پیمان گردلو

9- نمودار تابع y=ax2+bx+c به شرطی که c0 باشد، محور y ها را همواره در 0,c قطع می‌کند.

10- هر تابع درجه دوم y=ax2+bx+c خط y=mx+n را حداکثر در دو نقطه قطع می‌کند زیرا معادله حاصل از تقاطع آنها، از درجه دوم است.

 معادله تقاطع دو تابع فوق به صورت زیر است:

y=ax2+bx+cy=mx+nax2+bx+c=mx+nax2+bmx+cn=0

  • اگر >0 باشد، منحنی و خط، متقاطع می‌باشند و معادله تقاطع فوق دو ریشه ساده دارد.
  • اگر =0 باشد، منحنی و خط، مماس می‌باشند و معادله تقاطع فوق یک ریشه مضاغف دارد.
  • اگر <0 باشد، منحنی و خط، نقطه اشتراکی ندارند و معادله تقاطع فوق ریشه ندارد.

10- تلاقی دو تابع درجه دوم

دو تابع درجه دوم y=a1x2+b1x+c1y=a2x2+b2x+c2 حداکثر یکدیگر را در دو نقطه قطع می‌کنند، زیرا معادله حاصل از تقاطع آن دو حداکثر درجه دوم است:

a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2a1a2x2+b1b2x+c1c2=0

11- اگر دو تابع درجه دوم متقاطع باشند، مختصات نقاط تقاطع در هر دو معادله صدق می‌کند پس در هر ترکیبی از آن دو نیز صدق می‌کند.

اگر ترکیبی از دو معادله را طوری بنویسیم تا جمله های درجه دوم بین آنها حذف شود، عبارت درجه اولی بدست می‌آید که معادله خط گذرنده از نقاط تقاطع دو تابع است.

12- تابع درجه دوم و قضیه مقدار میانگین

اگر α و β دو نقطه روی تابع fx=ax2+bx+c باشند، آنگاه نقطهλ در شرط قضیه مقدار میانگین صدق می‌کند، یعنی:

اگر مماس در نقطه x=λ موازی خط گذرنده از نقاط  α و β باشد، آنگاه:

f'λ=fβfαβα2aλ+b=aβ2+bβ+caα2+bα+cβα2aλ+b=aβ+α+bλ=α+β2

13- تابع درجه دوم و مماس 

  • از هر نقطه روی یک تابع درجه دوم همواره یک مماس می‌توان بر آن رسم کرد زیرا همواره مشتق پذیر است و مماس، نمودار را در نقطه دیگری قطع نمی‌کند.
  • از هر نقطه خارج تابع درجه دوم همواره دو مماس می‌توان بر آن رسم کرد، منظور از خارج تابع درجه دوم ناحیه غیر محدب آن است.

14- وضعیت یک نقطه نسبت به تابع درجه دوم fx=ax2+bx+c 

نمودار تابع درجه دوم - پیمان گردلو

در حالتی که a>0 باشد و بخواهیم وضعیت نقطه Mα,β را با تابع مشخص کنیم، x=α را در معادله تابع قرار می‌دهیم:

  • اگر fα>β باشد، نقطه خارج نمودار است. (خارج ناحیه غیر محدب)
  • اگر fα<β باشد، نقطه درون تابع است.

در حالتی که a<0 باشد و بخواهیم وضعیت نقطه Mα,β را با تابع مشخص کنیم، روابط فوق برعکس می‌شود.

15- تابع درجه دوم و کوتاهترین فاصله تا یک خط

کوتاه‌ترین فاصله خط y=mx+n از منحنی تابع fx=ax2+bx+c نقطه ای از منحنی است که مماس بر منحنی در آن نقطه با خط y=mx+n موازی است، یعنی اگر α طول آن نقطه باشد، آنگاه داریم:

md=f'α

تابع درجه دوم، خط را قطع نمی کند، در این صورت به ازای α عرض نقطه محاسبه می‌شود و فاصله نقطه α,fα از خط، قابل محاسبه است.

البته از طریق کاربرد مشتق در امور بهینه‌سازی هم می‌توان کوتاهترین فاصله تا خط را محاسبه کرد. 

16- نمودارهای تقریبی fx=xn+px+q

اگر n عددی مثبت و زوج باشد، تابع در R پیوسته و مشتق پذیر می‌باشد.

limx±fx=limx±xn+px+q=+

if  fx=xn+px+qf'x=nxn1+p      ;      iff'x=0nxn1+p=0nxn1=pxn1=pnx=pnn1

نمودار تابع درجه دوم - پیمان گردلو

چون n طبیعی و زوج است پس n-1 مثبت و فرد است به همین خاطر مشتق فقط یک ریشه دارد و به ازای این ریشه تغییر علامت می‌دهد، پس تابع فقط یک مینیمم می‌تواند داشته باشد.

  • در صورتی که مقدار این مینیمم منفی باشد، نمودار تابع در دو نقطه، محور x ها را قطع می‌کند و معادله دو ریشه دارد. (شکل سمت راست)
  • در صورتی که مقدار این مینیمم مثبت باشد، نمودار تابع همواره بالای محور x ها است و معادله ریشه ندارد. (شکل سمت چپ)
  • در صورتی که مقدار این مینیمم صفر شود، نمودار تابع مماس بر محور x ها است و معادله یک ریشه مضاعف دارد. 

نمودار تابع درجه دوم - پیمان گردلو

تمرین

اگر مقدار max نسبی تابع با ضابطه y=ax2+2x+3 برابر 4 باشد، در اين‌صورت a را محاسبه کنید.

روش اول) 

در تابع درجه دوم y=ax2+bx+c عرض نقطه max نسبی 4acb24a است، پس:

4a344a=412a4=16a4a=4a=1


 روش دوم)


چون y=4 عرض نقطه max نسبی است، پس خط y=4 بر نمودار فوق مماس است، در نتيجه معادله تقاطع را می‌نويسيم:

y=ax2+2x+3y=4ax2+2x+3=4ax2+2x1=0


معادله تقاطع فوق بايستی ريشه مضاعف داشته باشد:

Δ=04+4a=0a=1

دو نقطه P1,2 و Q3,2 بر نمودار تابع y=ax2+bx+c واقع‌اند، در اين‌صورت طول نقطه اکسترمم نسبی اين تابع را به‌دست آورید.

در تابع درجه دوم اگر عرض‌های دو نقطه از نمودار با هم مساوی باشند، وسط پاره‌خط واصل بين اين دو نقطه روی محور تقارن تابع قرار دارد.

x=xP+xQ2=1+32=2


خط x=2 محور تقارن نمودار اين تابع است. چون محور تقارن از نقطه اکسترمم نسبی تابع می‌گذرد، پس x=2 طول نقطه اکسترمم نسبی تابع است. 

به‌ازای چه مقدار m تابع با ضابطه fx=mx22x+m همواره پائين محور xها واقع است؟

a<0m<0Δ<0-22-4mm<01m2<0m2>1m>1m>1m<1  m<1

به‌ازای چه مقادير m تابع با ضابطه y=x2+2x+3 خط y=4x+m را همواره در دو نقطه متمايز قطع می کند، اگر A و B اين دو نقطه باشند، مختصات وسط AB را محاسبه کنید.     

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

y=x2+2x+3y=4x+mx2+2x+3=4x+mx22x+3m=0


معادله تقاطع فوق دو ریشه ساده دارد اگر داشته باشیم:

Δ>0-22-413-m13+m>0m>2


طول‌های A و B ريشه‌های معادله x22x+3m=0 می‌باشند. اگر M وسط AB باشد:

xM=xA+xB2=ba2=22=1y=4+m


پس M1,4+m مختصات وسط AB است. 

معادله خطی که از تقاطع دو تابع y=x23x و y=2x2+4x+3 می‌گذرد را به‌دست آورید.

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

y=2x2+4x+3y=x23x2x2+4x+3=x23x3x27x3=0


چون اين معادله تقاطع همواره دو ريشه دارد پس دو تابع متقاطع‌اند، x2 را بين آن دو حذف می‌کنيم، معادله خط گذرنده از نقاط تقاطع به‌دست می‌آيد.

y=2x2+4x+32y=2x26x3y=2x+3y=23x+1

نقطه A را به‌طول 1 و نقطه B را به طول 5 روی تابع fx=x24x+1 مفروضند، معادله خط مماس بر تابع که موازی AB باشد را بيابيد.

یعنی اگر مماس در نقطه x=λ موازی خط گذرنده از نقاط 1 و 5 باشد،آن‌گاه λ=1+52 است.

Ι    if  xp=λ=1+52=3yp=2      ;     p3,2


p3,2 مختصات نقطه تماس می‌باشد.

ΙΙfx=x24x+1f'x=2x4       ;      xp=3f'3=2×34  f'3=2m=2


معادله مماس:

ΙΙΙ   yyp=mxxpy+2=2x3y=2x8

از نقطه m2,3 چند مماس می‌توان بر تابع fx=x2+x1 رسم کرد؟

fx=x2+x1f2=5>3


اگر x=2 را در تابع قرار دهيم y=5 است که از عرض m بيش‌تراست پس نقطه خارج نمودار است لذا از m2,3 دو مماس می‌توان بر تابع رسم کرد.  

به‌ازای چه مقدار c از نقطه M2,1 همواره می‌توان دو مماس بر تابع fx=x2+2x+c رسم کرد؟ 

f2>14+4+c>18+c>1c>7

کوتاه‌ترين فاصله تابع y=x2+4x از خط y=2x6 چقدر است؟

معادله تقاطع را می‌نویسیم:

y=x2+4xy=2x6x2+4x=2x6x2+2x+6=0   ;   Δ<0


خط، تابع را قطع نمی‌کند:

md=f'α2=2α+4α=1   ;   M1,3


فاصله نقطه M-1,-3 از خط، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

MH=2+364+1=55=5

اگر خط y=m نمودار تابع fx=ax2+bx+c را در دو نقطه x1 و x2 قطع کند، ثابت کنيد f'x1+f'x2=0.

يعنی زوایای مماس در دو نقطه x1 و x2 مکمل يک‌ديگرند. 


معادله تقاطع را می‌نویسیم:

y=ax2+bx+cy=max2+bx+c=max2+bx+cm=0


x1 و x2 طول نقاط تقاطع معادله فوق می‌باشند:

نمودار تابع درجه دوم - پیمان گردلو


f'x1+f'x2=2ax1+b+2ax2+b     ;    f'x=2ax+b=2ax1+x2+2b=2aba+2b=0


یادآوری می‌کنیم که:

if   tanα+tanβ=0α+β=π   ,   α>0  ,  β<π

نمودار fx=x2+bx+c بر خط d:y=x+1 مماس است، bc را به‌دست آورید.

if   x=0y=1


خط در نقطه 0,1 بر منحنی مماس است.


نمودار تابع درجه دوم - پیمان گردلو 

f0=1f'0=mdf'0=1c=1b=1  bc=1

تابع y=x2+bx+c بر خط y=-3 مماس و از نقطه 1,1 گذشته است، c را به‌دست آورید.  

1,1f1=1+b+cb=c


نمودار f بر y=-3 مماس است پس معادله تقاطع آنها ريشه مضاعف دارد:

y=x2+bx+cy=3x2+bx+c=3x2+bx+c+3=0Δ=0b24c12=0      ;      b=cc24c12=0c=2,6

تمرین

تابع fx=ax2+bx مفروض است. اگر به‌ازای x>-1 تابع نزولی و به‌ازای x<-1 تابع صعودی باشد، كدام گزینه صحیح است؟ 

  a<0,  y=ax2+x   1a>0  ,y=ax2+2x   2a<0,  y=ax2+2x   3  a>0  ,y=ax2+x   4

گزينه 3 صحيح است.


 f' در مجاورت x=-1 تغيير علامت می‌دهد، بنابراين x=-1 طول نقطه اكسترمم است:

f'1=02a1+b=0      ;      f'x=2ax+b2a+b=0b=2a


به‌ازای x>-1 تابع نزولی و به‌ازای x<-1 تابع صعودی است، بنابراین نقطه x=-1 طول نقطه max است و a<0 است:

fx=ax2+bxb=2aa<0fx=ax2+2axy=ax2+2x  ,  a<0

برای ارسال نظر وارد سایت شوید