سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

بررسی نمودار بعضی توابع (حالت اول کسری)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

نمودار تابع کسریy=ax2+bx+cb'x+c'

برای رسم نمودار تابع کسری، مشتق تابع را مساوی صفر قرار دهیم:

y=ax2+bx+cb'x+c'y'=ab'x2+2ac'x+bc'cb'b'x+c'2    ;    y'=0ab'x2+2ac'x+bc'cb'b'x+c'2=0ab'x2+2ac'x+bc'cb'=0

حالت اول: اگر y'=0 دو ریشه داشته باشد، منحنی دارای دو اکسترمم است که عرض مینیمم از عرض ماکزیمم بیشتر است:

منحنی توابع - پیمان گردلو

حالت دوم: اگر y'=0 ریشه نداشته باشد، تابع اکسترمم ندارد. 

منحنی توابع - پیمان گردلو

1- منحنی دارای یک مجانب قائم و یک مجانب مایل است. 

2- محل تقاطع دو مجانب، مرکز تقارن منحنی است (این منحنی هذلولی است) و نیمساز زاویه داخلی دو مجانب، محورهای تقارن منحنی است.

3- اگر خط غیر مشخصی مانند D منحنی C به معادله y=ax2+bx+cb'x+c' را در نقاط M و M' و مجانب های این تابع را در نقاط N و N' قطع کند، همواره داریم:

MN=M'N'

منحنی توابع - پیمان گردلو

4- اگر معادله y=ax2+bx+cb'x+c' را طرفین وسطین کرده و بر حسب x مرتب کنیم، معادله درجه دومی بدست می‌آید که اگر  معادله درجه دوم مزبور را مساوی صفر قرار دهیم، معادله ای حاصل می‌شود که ریشه‌هایش عرض های نقاط ماکزیم و مینیمم تابع فوق است.

y=ax2+bx+cb'x+c'yb'x+c'=ax2+bx+cax2+bx+cb'xyc'y=0ax2+xbb'y+cc'y=0    ;    Δ=0bb'y24acc'y=0

5- نقاط ماکزیم و مینیمم تابع y=ax2+bx+cb'x+c' در صورت وجود در هوپیتال تابع یعنی خط y=2ax+bb' صدق می‌کنند و این خط از مرکز تقارن تابع می‌گذرد.

6- تابع نقطه عطف ندارد ولی به ازای x=c'b' تقعر منحنی عوض می‌شود. 

تمرین

نمودار تابع y=x2+2ax+3x1 به‌صورت زیر است:

منحنی توابع - پیمان گردلو

حدود a را بيابيد.

مشتق بايستی دو ريشه داشته باشد:


y=x2+2ax+3x1y'=2x+2ax1x2+2ax+3x12y'=x22x2a3x12      ;     y'=0x22x2a3=0         ;     Δ>022412a3>01+2a+3>0a>2

اگر M3,4 نقطه max تابع y=x2+ax+bx+1 باشد، a+b را به‌دست آورید.  

fx=x2+ax+bx+1f'x=x2+2x+abx+12


روش اول:


M3,4 نقطه max تابع است:

f'3=032+23+ab=0ab=3f3=432+a3+b3+1=43a+b=1a=2b=5a+b=7


روش دوم:


نقطه max نسبی هم در معادله تابع و هم در هوپيتال تابع صدق می‌کند:

f3=43a+b=1yH=2x+a14=6+aa=2b=5a+b=7

معادله مکان هندسی مرکز تقارن تابع y=ax2x+1x+a وقتی a در R تغيير می‌کند را بیابید.

خط x=-a مجانب قائم تابع است.


برای به‌دست آوردن عرض مرکز تقارن، از هوپيتال تابع استفاده می‌کنيم:

y=yHy=2ax11      ;     x=ay=2aa1y=2a21


مختصات مرکز تقارن عبارت است از a,2a21 برای تعيين مکان هندسی مرکز تقارن تابع، a را حذف می‌کنيم:

x=aa=xy=2a21  y=2x21y=2x21

اگر عرض‌های max و min نمودار تابع به‌معادله y=x2+ax+bx برابر صفر و چهار باشد، a-b را بيابيد.  

y=x2+ax+bxyx=x2+ax+bx2+ayx+b=0      ;    Δ=0ay24b=0y22ay+a24b=0


ymax و ymin ریشه‌های معادله فوق می‌باشد و در معادله صادق است:

if   ymax=0a24b=0if   ymin=4168a+a24b=0  a=2b=1ab=1

برای ارسال نظر وارد سایت شوید