سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

بررسی نمودار بعضی توابع (حالت دوم کسری)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

نمودار تابع کسریy=ax2+bx+ca'x2+b'x+c'

برای رسم نمودار تابع کسری، مشتق تابع را مساوی صفر قرار دهیم:

y=ax2+bx+ca'x2+b'x+c'y'=ab'a'bx2+2ac'a'cx+bc'b'ca'x2+b'x+c'2    ;    y'=0ab'a'bx2+2ac'a'cx+bc'b'c=0aba'b'x2+2aca'c'x+bcb'c'=0

تذکر

مشتق در تمام حالات فوق یا دو ریشه دارد و یا ریشه ندارد و هیچ‌گاه مشتق ریشه مضاعف ندارد، زیرا اگر مشتق بخواهد ریشه مضاعف داشته باشد، صورت و مخرج کسر ریشه مشترک خواهند داشت و تابع فوق به یک تابع هموگرافیک تبدیل می‌گردد.

برای مخرج تابع y=ax2+bx+ca'x2+b'x+c' سه حالت زیر را در نظر می‌گیریم: 

حالت اول: 

Δa'x2+b'x+c'<0

1- مخرج ریشه ندارد و منحنی مجانب قائم ندارد و فقط دارای مجانب افقی y=aa' است.

اگر a=0 باشد، مجانب افقی تابع، محور x ها است. 

2- اگر aa'bb' یا A=aba'b'0 باشد، آنگاه y'=0 دو ریشه دارد و منحنی دارای یک ماکزیمم و مینیمم است.  

نقطه تقاطع منحنی با مجانب افقی، مرکز تقارن منحنی است و این منحنی دارای سه نقطه عطف است که واقع بر یک استقامت می‌باشند.

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

3- اگر aa'=bb' یا A=aba'b'=0 باشد، آنگاه y'=0 یک ریشه دارد و منحنی دارای یک ماکزیمم یا یک مینیمم است.    

خطی که از این نقطه عمود بر محور x ها رسم می‌شود، محور تقارن منحنی است و این معادله محور تقارن x=b2a یا x=b'2a' است و منحنی دارای دو نقطه عطف می‌باشد.

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

حالت دوم: 

Δa'x2+b'x+c'=0

1- در این حالت مخرج، ریشه مضاعف داشته یعنی تابع به صورت y=ax2+bx+cαx+β2 می‌باشد و منحنی دارای یک مجانب قائم و یک مجانب افقی است.

مشتق به شکل y'=2aβαbx+bβ2αcαx+β3 است که به ازای ریشه مخرج نامعین شده و تغییر علامت می‌دهد، منحنی دارای انفصال مضاعف است.

2- اگر 2aβαb=0 باشد، صورت مشتق عددی ثابت است و منحنی اکسترم ندارد و مجانب قائم منحنی محور تقارن آن است.

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

3- اگر 2aβαb0 باشد، منحنی دارای یک ماکزیمم یا یک مینیمم است.

if  2aβαb>0

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

if  2aβαb<0

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

حالت سوم:

Δa'x2+b'x+c'>0

1- در این حالت مخرج دو ریشه دارد و منحنی دارای دو مجانب قائم و یک مجانب افقی است.

2- اگر aa'bb' آنگاه y'=0 دو ریشه دارد که یکی از نقاط  اکسترمم بین دو مجانب قائم است و منحنی در این حالت تقارن ندارد.  

if  A=aba'b'=ab'a'b>00<x'<x''

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

if  A=aba'b'=ab'a'b<0x'<x''<0

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

3- اگر aa'=bb'  باشد، آنگاه y'=0 یک ریشه دارد و منحنی دارای یک اکسترمم است که بین دو مجانب قائم قرار دارد.

خطی که از نقطه اکسترمم عمود بر محور x ها رسم شود یعنی خط x=b'2a' محور تقارن منحنی است. 

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

تذکر

اگر y'=0 ریشه نداشته باشد، شاخه وسط منحنی، مجانب افقی را قطع می‌کند.

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

یادآوری

مطالب بیان شده را به طور خلاصه می‌توان به صورت زیر بیان نمود:

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

نکته

در زیر به چند ویژگی مهم از تابع های به معادله y=ax2+bx+ca'x2+b'x+c' می‌پردازیم:  

 1- اگر خط y=m منحنی تابع فوق را در نقاط A و B قطع کند، مکان هندسی وسط پاره خط AB وقتی m تغییر کند، قسمتی از منحنی هوپیتال تابع است یعنی m در هوپیتال تابع صدق می‌کند.

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

y=my=ax2+bx+ca'x2+b'x+c'

معادله تقاطع به صورت زیر است:

ma'ax2+mb'bx+mc'c=0

ریشه های معادله تقاطع فوق xA و xB می‌باشند، اگر p وسط AB باشد:

xp=xA+xB2=ba2=mb'bma'a2yp=mxp=mb'b2ma'ayp=m

در نقطه p رابطه ای مستقل از m بدست می‌آوریم:

x=b'y+b2a'ya2xa'ya=b'y+b2xa'y2xa=b'y+b2xa'y+b'y=b+2xay2xa'+b'=b+2xay=2ax+b2a'x+b'

وقتی وتر AB موازی محور x ها تغییر می‌کند، در حالتی که نقاط A و B به هم نزدیک می‌شوند، پاره خط AB مرتبا کوچک‌تر شده و در نقطه ماکزیمم یا مینیمم نقاط A و B منطبق می‌شود و p وسط AB نیز بر ماکزیمم یا مینیمم منطبق می‌شود، یعنی یکی از نقاط مکان هندسی وسط وتر AB نقطه اکسترمم تابع است.      

2- رابطه ای مستقل از m به صورت زیر محاسبه می‌شود.

معادله تقاطع به صورت زیر است:

ma'ax2+mb'bx+mc'c=0

ریشه های معادله تقاطع فوق xA و xB می‌باشند:

xA+xB=mb'bma'axA.xB=c'mca'mam=axA.xBca'xA.xBc'xA+xB=b'.axA.xBca'xA.xBc'ba'.axA.xBca'xA.xBc'a

3- حاصل ضرب مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع y=ax2+bx+ca'x2+b'x+c' برابر است با:

ymax.ymin=Δax2+bx+cΔa'x2+b'x+c

تمرین

نمودار تابع y=x2+ax+b2x2+x+1 به شکل زیر است:

نمودار توابع کسری - پیمان گردلو

مقادیر a و b را بدست آورید.

y=12 مجانب افقی است و در x=0 تابع آن را قطع کرده است:

f0=1202+a0+b202+0+1=12b=12


تابع بر محور x ها مماس است و معادله تقاطع منحنی و y=0 بایستی ریشه مضاعف داشته باشد:

y=x2+ax+b2x2+x+1y=0x2+ax+b2x2+x+1=0

x2+ax+b2x2+x+1=0x2+ax+b=0    ;    b=12x2+ax+12=0    ;    Δ=0a22=0a=±2


ریشه مضاعف به ازای a=-2 مثبت می‌شود و مماس بر y=0 در قسمت مثبت محور x ها اتفاق می‌افتد. 

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است.

مقادیر a و b را چنان بیابید که مجموع طول های ماکزیمم و مینیمم برابر -1 و حاصل ضرب عرض های ماکزیمم و مینیمم برابر -18 باشد.  

fx=ax2bx2x2+1

طول های ماکزیمم و مینیمم جواب های معادله f'x=0 است:

fx=ax2bx2x2+1f'x=2bx2+2axb2x2+12    ;    f'x=02bx2+2axb2x2+12=02bx2+2axb=0    ;    xmax+xmin=12a2b=1ab=0


با توجه به حاصل ضرب عرض های ماکزیمم و مینیمم داریم:

ymax.ymin=Δax2+bx+cΔa'x2+b'x+c18=Δax2+bx+cΔa'x2+b'x+c18=b24a00421b28=18b2=1

ab=0b2=1a=bb=±1a=1  ,   b=1a=1  ,   b=1

برای ارسال نظر وارد سایت شوید