سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

نقطه عطف (جهت تقعر منحنی)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 52 مرتبه

مقدمه: 

1- منحنی هایی را که زیر خطوط مماس قرار دارد، مقعر به سوی پائین نامیده می‌شود.

نقطه عطف و جهت تقعر منحنی - پیمان گردلو

وقتی روی منحنی از چپ به راست حرکت می‌کنیم، خطوط مماس طوری دوران می‌کنند که شیب‌شان کاهش می‌یابد:

جملات زیر، همگی هم‌ارز هستند:

  • تقعر f به سمت پایین است.
  • مماس بر منحنی بالای نمودار است و شیبش کاهش می‌یاید.
  • تابعf' اکیدا نزولی است.
  • مشتق دوم منفی است f''x<0.

2- منحنی هایی را که بالای خط مماس قرار دارد، مقعر به سوی بالا نامیده می‌شود.

نقطه عطف و جهت تقعر منحنی - پیمان گردلو

وقتی روی منحنی از چپ به راست حرکت می‌کنیم، خطوط مماس طوری دوران می‌کنند که شیب‌شان افزایش می‌یابد.

جملات زیر، همگی هم‌ارز هستند:

  • تقعر f به سمت بالا است.
  • مماس بر منحنی پائین نمودار است و شیبش افزایش می‌یاید.
  • تابعf' اکیدا صعودی است.
  • مشتق دوم مثبت است f''x>0.

جهت تقعر منحنی

تعریف: منحنی تابع y=fx را در نقطه c,fc به سمت پائین مقعر می‌نامیم، هرگاه:

الف) f'c وجود داشته باشد.

ب) یک همسایگی بدون مرکز نقطه c مانند xN*c,α وجود داشته باشد به‌طوری‌که برای هر x از این بازه، نقطه x,fx در زیر خط مماس بر منحنی در نقطه c,fc واقع باشد.  

نقطه عطف و جهت تقعر منحنی - پیمان گردلو

تعریف: منحنی تابع y=fx را در نقطه c,fc به سمت بالا مقعر می‌نامیم، هرگاه:

الف) f'c وجود داشته باشد.

ب) یک همسایگی بدون مرکز نقطه c مانند xN*c,α وجود داشته باشد به‌طوری‌که برای هر x از این بازه، نقطه x,fx در بالای خط مماس بر منحنی در نقطه c,fc واقع باشد.  

نقطه عطف و جهت تقعر منحنی - پیمان گردلو

نقطه عطف تابع

تعریف: نقطه Ac,fc را یک نقطه عطف تابع f می‌گوئیم، هرگاه سه شرط زیر برقرار باشد:

شرط اول) تابع f در همسایگی c پیوسته باشد.

 شرط دوم) نمودار f در نقطه c دارای خط مماس باشد. 

ممکن است مماس، غیر عمودی باشد بنابراین مشتق اول متناهی است.

نقطه عطف و جهت تقعر منحنی - پیمان گردلو

نکته

در تمام توابع چند جمله ای، کسری گویا و توابع y=sinx و y=cosx و ترکیب آنها با توابع چند جمله ای و چند جمله ای گویا، نقاط عطف از این‌گونه هستند.

ممکن است مماس، عمودی باشد بنابراین مشتق اول نامتناهی است.(+ یا -

نقطه عطف و جهت تقعر منحنی - پیمان گردلو

نکته

مشتق دوم در این‌گونه نقاط معمولا در توابع اصم بیشتر رخ می‌دهند.

شرط سوم) در یک طرف نقطه c تقعر f به سوی بالا و در طرف دیگر c تقعر f به سوی پائین باشد، یعنی هنگام عبور از نقطه c تقعر f تغییر کند به عبارت دیگر f''c حول نقطه به طول c تغییر علامت بدهد و در این نقطه مماس بر منحنی از منحنی عبور می کند. 

if   x>cf''x>0x<cf''x<0

نقطه عطف و جهت تقعر منحنی - پیمان گردلو

if   x>cf''x<0x<cf''x>0

نقطه عطف و جهت تقعر منحنی - پیمان گردلو

یادآوری

به طور خلاصه

تمام ریشه های مشتق دوم مانند x=c که به ازای آن y'' صفر، نامتناهی یا وجود نداشته باشد را طول نقطه عطف تابع گویند، اگر: 

1-  تابع در نقطه x=c پیوسته باشد. 

2- در x=c مشتق اول متناهی یا نامتناهی (مماس غیر عمودی یا عمودی) داشته باشیم.

3- در همسایگی x=c علامت y'' در طرفین این نقطه تغییر کند و تقعرش عوض شود، توجه کنید که:    

در فواصلی که y''>0 باشد، تقعر منحنی در آن فاصله به سمت y های مثبت و به طرف بالا  است.  

در فواصلی که y''<0 باشد، تقعر منحنی در آن فاصله به سمت y های منفی و به طرف پائین  است.  

تعیین نقاط عطف در توابع، از کاربردهای اساسی مشتق دوم می‌باشد.

نقطه عطف و جهت تقعر منحنی - پیمان گردلو

تذکر

تمام ریشه های مشتق دوم که مشتق دوم تغییر علامت ندهد، نقاط عطف نیستند بلکه به آن، نقاط mepllate می‌گویند. 

نقطه عطف و جهت تقعر منحنی - پیمان گردلو

تمرین

جهت تقعر و نقاط عطف منحنی تابع زير را مشخص کنيد.

y=xx2+1

Df=Rif   y=xx2+1y'=x21x2+12y''=2x3+6xx2+13    ;    f''x=02x3+6xx2+13=02x3+6x=0x2x2+6=0x=0,3,3


نقاط عطف - پیمان گردلو

 (1تابع دراین نقاط پیوسته است.


 (2دراین نقاط مشتق اول متناهی است و مماس غیر عمودی داریم.


(3 در همسایگی این نقاط، علامت y'' در طرفین آنها تغییر کرده و تقعرشان عوض شده است.


سه شرط برقرار است پس هر سه نقطه طول نقاط عطف هستند.

دریافت مثال

خاصیت نقاط عطف

مقدمه:  خاصیت مشترک همه نقاط یک منحنی این است که مختصات آن در معادله منحنی صدق می‌کند. 

در این میان نقطه عطف علاوه بر این‌که مختصاتش در معادله منحنی صدق می‌کند، خاصیت دیگری هم دارد و آن خاصیت این است که در معادله y''=0 هم صادق است یا y'' را نامعین می‌کند.  

خاصیت اول: اگر گفته شود که منحنی y=fx در نقطه ای به طول x0 دارای نقطه عطف است باید مشتق مرتبه دوم تابع را به ازای x0 برابر صفر قرار دهیم، یعنی f''x0=0.   

دریافت مثال

خاصیت دوم: اگر گفته شود که نقطه Ax0,y0 نقطه عطف منحنی تابع y=fx است، دو عمل زیر را انجام می‌دهیم:

  • مشتق مرتبه دوم را به ازای x0 برابر صفر قرار می‌دهیم، یعنی f''x0=0.
  • چون Ax0,y0 نقطه ای از منحنی تابع هست، پس در خود تابع صادق است، یعنی fx0=y0.  

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نقطه عطف (جهت تقعر منحنی)

3,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید