سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

یکنوایی و اکیداً یکنوایی توابع با استفاده از مفهوم مشتق

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

قضیه

فرض کنید تابع y=fx در بازه a,b پیوسته و در بازه a,b مشتق پذیر و اکیدا صعودی باشد، آنگاه f'x>0 و برعکس.

اثبات

یکنوایی و اکیداً یکنوایی توابع با استفاده از مفهوم مشتق - پیمان گردلو

fx2>fx1fx2fx1>0    ;    x2>x1fx2fx1x2x1>0x2x1fx2fx1x2x1>0limx2x1fx2fx1x2x1>lim  x2x10f'x>0

مفهوم هندسی f'x>0 آن است که در هر نقطه از فاصله a,b تانژانت زاویه خط مماس بر تابع f و محور طول ها، همواره مثبت است.  

یادآوری

از لحاض هندسی اگر نمودار یک تابع روی یک بازه، دارای خط های مماس با شیب های m مثبت باشد، آنگاه f روی آن بازه، اکیدا صعودی است.

m>0tanα>0α0,π2

یکنوایی و اکیداً یکنوایی توابع با استفاده از مفهوم مشتق - پیمان گردلو

قضیه

فرض کنید تابع y=fx در بازه a,b پیوسته و در بازه a,b مشتق پذیر و اکیدا نزولی باشد، آنگاه f'x<0 و برعکس.

اثبات

یکنوایی و اکیداً یکنوایی توابع با استفاده از مفهوم مشتق - پیمان گردلو

fx2<fx1fx2fx1<0     ;    x2>x1fx2fx1x2x1<0x2x1fx2fx1x2x1<0limx2x1fx2fx1x2x1<limx2x10f'x<0

مفهوم هندسی f'x<0 آن است که در هر نقطه از فاصله a,b تانژانت زاویه خط مماس بر تابع f و محور طول ها، همواره منفی است.  

یادآوری

از لحاض هندسی اگر نمودار یک تابع روی یک بازه، دارای خط های مماس با شیب های m منفی باشد، آنگاه f روی آن بازه، اکیدا نزولی است.

m<0tanα<0απ2,π


یکنوایی و اکیداً یکنوایی توابع با استفاده از مفهوم مشتق - پیمان گردلو

تمرین

نشان دهيد تابع زیر اكيدا صعودی است:

y=x33x2+3x

یادآوری می‌کنیم که اگر تابع f در بازه a,b اکیدا صعودی باشد، داریم:


xa,b    ;    if   f'x>0if  y=x33x2+3xy'=3x26x+3y'=3x22x+1y'=3x12>0


تابع f  اکیدا صعودی است. 

تمرین

تابع زیر در چه فاصله ای اكيدا نزولی است؟

y=x2x2

یادآوری می‌کنیم که اگر تابع f در بازه a,b اکیدا نزولی باشد، داریم:


xa,b   ;  if   f'x<0

ify=x2x2y'=2x222x2    ;    y'<02x222x2<02x22<02x2<2x2<1x<11<x<1

دریافت مثال

تذکر

به طور کلی اگر تابع y=fx در بازه a,b پیوسته و در بازه a,b مشتق پذیر باشد، آن‌گاه داریم: 

f در a,b اکیدا صعودی است، اگر و تنها اگر:

 xa,b   ;  if   f'x>0


f در a,b اکیدا نزولی است، اگر و تنها اگر: 

 xa,b   ;  if   f'x<0


f در a,b صعودی است، اگر و تنها اگر: 

 xa,b   ;  if   f'x0


f در a,b نزولی است، اگر و تنها اگر:  

 xa,b   ;  if   f'x0

اگر تابع y=fx در بازه a,b پیوسته و در بازه a,b مشتق پذیر باشد و به ازای هر x در a,b داشته باشیم   f'x=0آن‌گاه f در تمام بازه a,b تابعی ثابت است. 

اگر در بازه a,b مشتق دو تابع مساوی باشند، آنگاه دو تابع فقط در یک عدد ثابت اختلاف دارند: 

if  f'x=g'xfx=gx+k

نکته

اگر f'x0 یا f'x0 باشد، نتیجه می گیریم که تابع به ترتیب تابع صعودی و نزولی است و نمی‌توان در حالت کلی نتیجه گرفت که تابع اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی می‌باشد.  

اما اگر در توابع اکیدا یکنوا، مشتق تابع در تعداد متناهی نقطه از بازه a,b صفر باشد، یعنی f'x=0 در این صورت تابع در این بازه اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی است.

تمرین

تابع fx=x13 را روی بازه 0,2 در نظر بگیرید:

نمودار این تابع به شکل زیر است:

یکنوایی و اکیداً یکنوایی توابع با استفاده از مفهوم مشتق - پیمان گردلو

در چه فاصله ای، تابع اکیدا صعودی است؟ 

if   fx=x13f'x=3x120


مشتق تابع در نقطه x=1 مقدارش صفر است اما تابع روی R اکیدا صعودی است. 

تمرین

تابع fx=x+sinx را روی بازه 0,5π در نظر بگیرید:

نمودار این تابع را رسم کنید.

یکنوایی و اکیداً یکنوایی توابع با استفاده از مفهوم مشتق - پیمان گردلو

مشتق تابع در کدام نقاط صفر است؟

if  fx=x+sinxf'x=1+cosx


تابع در بازه درنظر گرفته شده پیوسته و مشتق پذیر است و مشتق در تمام نقاط زیر، صفر است:

x=2kπ+π

آیا تابع در این بازه اکیدا صعودی است؟

با این‌که مشتق تابع در تعداد متناهی نقطه از بازه 0,5π صفر است، باز هم تابع در این بازه اکیدا صعودی است. 

آیا عکس مطلب فوق، همواره صحیح است؟ 

عکس مطلب فوق همواره صحیح نمی‌باشد، یعنی از اکیدا یکنوا بودن تابع یعنی f'x>0 یا f'x<0 نمی‌توان نتیجه گرفت که مشتق تابع در تعداد متناهی نقطه از بازه 0,5π صفر است.   

دریافت مثال

نکته

در توابع اکیدا یکنوا اگر مشتق تابع در تعداد متناهی نقطه از بازه a,b موجود نباشد اما در تمام نقاط پیوسته باشد، باز هم تابع در این بازه اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی است. 

تمرین

تابع fx=x+xx2 را روی بازه 0,5 در نظر بگیرید:

نمودار این تابع را رسم کنید.

یکنوایی و اکیداً یکنوایی توابع با استفاده از مفهوم مشتق - پیمان گردلو

مشتق تابع در کدام نقاط موجود نیست؟

f'x=2xx    ;   xRZ    ;    f'+n=0f'n=2


تابع در نقاط به طول صحیح مشتق ندارد یعنی در نامتناهی نقطه شمارش پذیر، مشتق ندارد.

آیا تابع اکیدا صعودی است؟

و در بقیه نقاط به غیر نقاطی که تابع مشتق پذیر نیست، f'x>0 و تابع اکیدا صعودی است.  

دریافت مثال

نکته

برای اثبات بعضی از نامساوی ها به صورت fx>gx معمولا تابع hx=fxgx را تشکیل داده و ثابت می‌کنیم hx>0 و این موضوع با استفاده از اطلاعات مشتق تابع و توابع یکنوا قابل حل است.   

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

یکنوایی و اکیداً یکنوایی توابع با استفاده از مفهوم مشتق

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید