سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

روابط بین تابع و تابع مشتق

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 61 مرتبه

روابط بین توابعfxوf'x 

بررسی اکیدا یکنوایی در نمودارfوf'

برای ورود به بحث، به تمرین زیر توجه کنید:

تمرین

توابع fx=x23 و f'x=2x مفروضند:

نمودارهای f و f' را رسم کرده و اکیدا یکنوایی را در بازه 0,+ تحلیل کنید: 

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو

در بازه 0,+ تابع f اکیدا صعودی است، بنابراین نمودار f' بالای محور x ها می‌باشد.   

نمودارهای f و f' را رسم کرده و اکیدا یکنوایی را در بازه -,0 تحلیل کنید: 

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو

در بازه -,0 تابع f اکیدا نزولی است، بنابراین نمودار f' پائین محور x ها می‌باشد.   

تمرین

توابع fx=x33x و f'x=3x2-3 مفروضند:

نمودارهای f و f' را رسم کرده و اکیدا یکنوایی را در بازه های مختلف تحلیل کنید: 

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو


در شکل سمت چپ، تابع f در بازه ,a اکیدا صعودی است، بنابراین نمودار f' بالای محور x ها می‌باشد.


در شکل وسط، تابع f در بازه a,b اکیدا نزولی است، بنابراین نمودار f' پائین محور x ها می‌باشد.


در شکل سمت راست، تابع f در بازه b,+ اکیدا صعودی است، بنابراین نمودار f' بالای محور x ها می‌باشد.

یادآوری

اگر در بازه a,b تابع f مشتق پذیر و اکیدا صعودی باشد، آنگاه f'>0 و نمودار f' بالای محور x ها یا مماس بر آن است.

اگر در بازه a,b تابع f مشتق پذیر و اکیدا نزولی باشد، آنگاه f'<0 و نمودار f' پائین محور x ها یا مماس بر آن است.

بررسی نقاط اکسترمم در نمودارfوf'

1- اگر f در نقطه x=a اکسترمم نسبی داشته باشد و در همسایگی a مشتق موجود باشد، آنگاه نمودار f' محور x ها را قطع می‌کند زیرا f'a=0.

و بر عکس، هر جا نمودار f' محور x ها را قطع ‌کند، تابع f اکسترمم نسبی دارد.

تمرین

در نمودارهای زیر، نقاط اکسترمم توابع f و نقاطی که در آن نمودار f' محور x ها را قطع کرده را مشاهده می‌کنید:

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو

2- اگر f در نقطه x=a اکسترمم نسبی داشته باشد و در همسایگی a مشتق موجود نباشد، آنگاه نمودار f' در نقطه x=a تعریف نشده است و در همسایگی محذوف a در دو طرف محور x ها واقع می‌شود.  

تمرین

نمودار توابع زیر را مشاهده می‌کنید:

fx=x=    x    ;    x0x    ;    x<0

f'x=    1   ;    x>11   ;    x<1

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو

در نقطه x=0 تابع اکسترمم نسبی دارد و پیوسته است و در همسایگی محذوف x=0 در دو طرف محور x ها واقع می‌شود.

 
f'0<0 است و تابع مشتق زیر محور x هاست. 

f'+0>0 است و تابع مشتق بالای محور x هاست.

بررسی نقاط زاویه دار در نمودارfوf'

اگر a,fa نقطه زاویه دار تابع f باشد، نمودار f' در نقطه x=a تعریف نشده و ناپیوسته است. 

عکس مطلب فوق همواره صحیح نمی‌باشد.

تمرین

نمودار توابع زیر را مشاهده می‌کنید:

fx=x21=x21     ;            x11x2     ;  1x1x21     ;            x1

f'x=2x       ;            x>12x   ;  1<x<12x      ;            x<1

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو

در x=a و x=b نقاط زاویه دار داریم اما مشتقات چپ و راست متناهی است.

مشتق چپ در این نقاط منفی است و تابع مشتق زیر محور x هاست و مشتق راست مثبت است و تابع مشتق بالای محور x هاست.   

بررسی نقاط بازگشت در نمودارfوf'

اگر a,fa نقطه بازگشت تابع f باشد، f'+0 و f'-0 دو بی‌نهایت مختلف العلامه باشد، آنگاه تابع f' در x=a مجانب قائم دارد و انفصال از نوع ساده است.  

  • در هر فاصله که f اکیدا صعودی است، f' بالای محور x ها است. 
  • در هر فاصله که f اکیدا نزولی است، f' پائین محور x ها است. 

تمرین

به نمودارهای زیر توجه کنید:

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو


در نقطه x=2 تابع f نقطه بازگشت دارد پس f' مجانب قائم دارد و دارای انفصال ساده است. 

در هر فاصله که f اکیدا صعودی است، f' بالای محور x ها است. 

در هر فاصله که f اکیدا نزولی است، f' پائین محور x ها است. 

بررسی نقاط عطف در نمودارfوf'

1- در هر بازه که f دو بار مشتق پذیر و مشتق هم پیوسته باشد و تقعر f به بالا (یا پایین) باشد، آنگاه تابع f' اکیدا صعودی (یا اکیدا نزولی) است و بر عکس. 

تمرین

به نمودارهای زیر توجه کنید:

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو


در شکل سمت راست در بازه 0,+ تقعر f به بالا است پس f'  در این بازه اکیدا صعودی است. 

در شکل سمت چپ در بازه -,0 تقعر f به پائین است پس f'  در این بازه اکیدا نزولی است.   

2- اگر a,fa نقطه عطف تابع f باشد، آنگاه a,fa یک نقطه اکسترمم نسبی برای تابع f' است.  

در نقطه عطف جهت تقعر عوض می‌شود پس جهت تغییرات f' تغییر می‌کند و چون مشتق اول موجود است در نتیجه اکسترمم نسبی است.   

تمرین

به نمودارهای زیر توجه کنید:

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو

در شکل سمت راست:

در نقطه x=0 تابع f نقطه عطف دارد که مشتق اول متناهی است (مماس غیر عمودی) پس f' اکسترمم نسبی دارد.

چون تقعر f از بالا به پائین تغییر کرده، پس f' از صعودی به نزولی تغییر جهت می‌دهد به همین دلیل نقطه x=0 در f' یک ماکزیمم نسبی است.


در شکل سمت چپ:

در نقطه x=2 تابع f نقطه عطف دارد که مشتق اول متناهی است (مماس غیر عمودی) پس f' اکسترمم نسبی دارد.

چون تقعر f از پائین به بالا تغییر کرده، پس f' از نزولی به صعودی تغییر جهت می‌دهد به همین دلیل نقطه x=2 در f' یک مینیمم نسبی است.     

 3- اگر در نقطه عطف، مماس قائم داشته باشیم، آنگاه f' اکسترمم نسبی ندارد. 

اگر در تابع f نقطه x=a مماس قائم باشد یا f'+0 و f'-0 دو بی‌نهایت متحد العلامه باشد، آنگاه تابع f' در x=a مجانب قائم دارد و انفصال از نوع مضاعف است.  

  • در هر بازه ای که تقعر f به سمت پایین باشد، f' اکیدا نزولی است.
  • در هر بازه ای که تقعر f به سمت بالا باشد، f' اکیدا صعودی است.

تمرین

به نمودارهای زیر توجه کنید:

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو

تمرین

نمودار f به صورت زیر است:

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو 

نمودار تابع f' بین شکل های زیر کدام است؟ 

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو

در نقطه x=1 مجانب قائم و انفصال ساده دارد و f'0=0. شکل دوم نمودار تابع f' است.  

تمرین

نمودار f به صورت زیر است:

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو

نمودار تابع f' بین شکل های زیر کدام است؟ 

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو

در بازه -,1 تابع f صعودی است پس نمودار f' بالای محور x ها است، f دو نقطه عطف دارد پس f' دو اکسترمم نسبی دارد. شکل سوم نمودار تابع f' است.       

تمرین

نمودار f' به صورت زیر است:

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو

نقاط فوق در تابع f به چه معنا است؟ 

در فاصله ای که نمودار f' بالا محور x ها است، f اکیدا صعودی است و در فاصله ای که نمودار f' پائین محور x ها است، f اکیدا نزولی است.

در نقطه x=a و x=p مشتق از مثبت به منفی تغییر علامت داده یا تابع از صعودی به نزولی تغییر جهت داده است، پس این دو نقطه ماکزیمم نسبی هستند.

در نقطه x=q مشتق از منفی به مثبت یا از نزولی به صعودی تغییر جهت داده پس این نقطه مینیمم نسبی است.

در نقطه x=d مشتق تغییر علامت داده و ممکن است اکسترمم نسبی باشد یا نباشد، اگر f پیوسته باشد اکسترمم نسبی است.

در نقاط x=b و x=c و x=r تابع f' نقطه اکسترمم دارد، پس در f  نقطه عطف دارد.

در نقطه x=c چون f'c=0 اما چون مشتق تغییر علامت نداده است پس اکسترمم نمی‌باشد و نقطه عطف f است.       

یادآوری

به طور خلاصه، مطالب بیان شده را در تمرین زیر یادآوری می‌کنیم:

تمرین

در شکل نمودار f در بالا و نمودار f' در زیر رسم شده است:

روابط بین تابع و تابع مشتق - پیمان گردلو  

در هر فاصله که f مشتق پذیر و اکیدا صعودی باشد، آنگاه نمودار f' بالای محور x ها یا مماس بر آن است و بر عکس. 

در بازه z,a تابع f اکیدا صعودی است پس f' بالای محور x ها است.     

در هر فاصله که f مشتق پذیر و اکیدا نزولی باشد، آنگاه نمودار f' پائین محور x ها یا مماس بر آن است و بر عکس. 

در بازه a,c تابع f اکیدا نزولی است پس f' پائین محور x ها است.     

در هر بازه که f دو بار مشتق پذیر و با مشتق پیوسته باشد و تقعر f به بالا (یا پایین) باشد، آنگاه تابع f' اکیدا صعودی (یا اکیدا نزولی) است و بر عکس.  

در بازه b,d تقعر f به بالا است پس تابع f' اکیدا صعودی است.

در بازه z,b تقعر f به پائین است پس تابع f' اکیدا نزولی است.

اگر f در نقطه x=a اکسترمم نسبی داشته باشد و در همسایگی a مشتق موجود باشد، آنگاه نمودار f' محور x ها را قطع می‌کند زیرا f'a=0 و بر عکس، هر جا نمودار f' محور x ها را قطع ‌کند، تابع f اکسترمم نسبی دارد.

در نقطه x=a تابع f ماکزیمم نسبی دارد لذا نمودار f' محور x ها را قطع کرده و در این نقطه اکسترمم نسبی f' موجود است.  

اگر f در نقطه x=a اکسترمم نسبی داشته باشد و در همسایگی a مشتق موجود نباشد، آنگاه نمودار f' در نقطه x=a تعریف نشده است و در همسایگی محذوف a در دو طرف محور x ها واقع می‌شود.  

در نقطه x=p تابع اکسترمم نسبی دارد و تابع پیوسته و f'p>0 اما f'+p=0 و در همسایگی محذوف p در دو طرف محور x ها واقع می‌شود.

در نقطه x=e تابع اکسترمم نسبی دارد، اما مشتق های چپ و راست نابرابر و مشتق چپ مثبت و مشتق راست منفی است لذا به همین دلیل نمودار f' در همسایگی e از بالای محور x ها به پائین جهش می‌کند. 

عکس مطلب فوق همواره صحیح نمی‌باشد.
اگر تابع f' در نقطه ای تعریف نشده باشد اما در یک همسایگی محذوف آن نقطه تعریف شده باشد و حتی در این همسایگی در دو طرف محور x ها باشد، نمی‌توان نتیجه گرفت که در آن نقطه اکسترمم نسبی دارد، مگر آن‌که تابع در آن نقطه پیوسته باشد.      

اگر a,fa نقطه زاویه دار تابع f باشد، نمودار f' در نقطه x=a تعریف نشده و ناپیوسته است و عکس مطلب فوق همواره صحیح نمی‌باشد.

در نقطه x=q نقطه زاویه دار داریم اما چون مشتقات چپ و راست متناهی و هر دو منفی هستند تابع اکسترمم نسبی ندارد و تابع  مشتق همواره زیر محور x هست و در  x=q تعریف نشده است. 

اگر a,fa نقطه عطف تابع f باشد، آنگاه a,fa یک نقطه اکسترمم نسبی برای تابع f' است زیرا در نقطه عطف جهت تقعر عوض می‌شود پس جهت تغییرات f' تغییر می‌کند و چون مشتق اول موجود است در نتیجه اکسترمم  نسبی است.عکس مطلب فوق همواره صحیح نمی‌باشد.
اگر در نقطه عطف مماس قائم داشته باشیم آنگاه f' اکسترمم نسبی ندارد.  

در نقطه x=b تابع f نقطه عطف دارد و مشتق اول متناهی است پس f'  در این نقطه اکسترمم نسبی دارد.


در نقطه x=g  تابع f نقطه عطف دارد و مشتق اول متناهی است پس f' در این نقطه اکسترمم نسبی دارد. چون تقعر از بالا به پائین تغییرکرده، پس f' از صعودی به نزولی تغییر جهت می‌دهد به همین دلیل ماکزیمم نسبی است.


در نقطه x=r تابع f نقطه عطف دارد که در آن f'r=0 لذا نمودار f'  در این نقطه اکسترمم نسبی دارد.

در نقطه x=d تابع f نقطه عطف دارد و مشتق اول نامتناهی است(یا مماس عمودی است) پس f' در این نقطه اکسترمم نسبی دارد.   

اگر a,fa نقطه بازگشت تابع f باشد، f'+0 و f'-0 دو بی‌نهایت مختلف العلامه باشد، آنگاه تابع f' در x=a مجانب قائم دارد و انفصال از نوع ساده است.  

در نقطه x=h تابع f نقطه بازگشت دارد پس f'  در این نقطه مجانب قائم و دارای انفصال ساده است.

عکس مطلب فوق همواره صادق نمی باشد یعنی اگر f' در نقطه ای مجانب قائم با انفصال از نوع ساده داشته باشد، ممکن است  f'+0 و f'-0 با علامت های یکسان باشند.

اگر در تابع f نقطه x=a مماس قائم باشد یا f'+0 و f'-0 دو بی‌نهایت متحد العلامه باشد، آنگاه تابع f' در x=a مجانب قائم دارد و انفصال از نوع مضاعف است.  

در نقطه x=d تابع f پیوسته و f'a=+ پس f' مجانب قائم یا انفصال مضاعف دارد.  

برای ارسال نظر وارد سایت شوید