سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

اکسترمم های نسبی (با استفاده از مشتق)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 37 مرتبه

اکسترمم نسبی درتوابع پیوسته با استفاده از مفهوم مشتق

مقدمه:

می‌خواهیم نقاط ماکزیمم و مینیموم نسبی یک تابع را با استفاده از بحث پیوستگی و مشتق بررسی کنیم.

اگر توابع مورد نظر پیوسته و مشتق پذیر باشند، تعیین اکسترمم ها به سادگی صورت می‌گیرد.

قبلا دیدیم که نقاط بحرانی، احتمالی وجود اکسترمم های نسبی هستند، اکنون می‌خواهیم مشخص کنیم که کدام یک از نقاط بحرانی، اکسترمم های نسبی اند و کدام‌یک نیستند.

همانطور که در شکل‌های زیر می‌بینید:

اگر منحنی در سمت چپ نقطه c صعودی و در سمت راست آن نزولی باشد، آنگاه در c یک ماکزیمم نسبی وجود دارد:

اکسترمم نسبی - پیمان گردلو  

اگر منحنی در سمت چپ نقطه c نزولی و در سمت راست آن صعودی باشد، آنگاه در c یک مینیموم نسبی وجود دارد:

اکسترمم نسبی - پیمان گردلو

نکته

اگر منحنی در هر دو طرف c نزولی و یا در هر دو طرف c صعودی باشد، آنگاه در c هیچ اکسترمم نسبی وجود ندارد.

تعریف: اگر تابع y=fx در بازه a,b پیوسته و در نقطه c از بازه a,b اکسترمم نسبی داشته باشد، آنگاه:

حالت اول- 

ممکن است f'c موجود و متناهی باشد که در این صورت f'c=0 است.

اکسترمم نسبی - پیمان گردلو 

در شکل فوق رابطه بین مماس های افقی یک تابع و اکسترمم های آن را مشاهده می‌کنید.

نکته

عکس حالت اول همواره صحیح نیست، یعنی اگر f'c=0 باشد، همواره نمی‌توان نتیجه گرفت که c یک نقطه اکسترمم تابع f می‌باشد.  

توجه کنید که c نقطه بحرانی می‌باشد و یک نقطه بحرانی لزوما اکسترمم نسبی نیست.

به همین جهت از آزمون های مشتق اول یا مشتق دوم برای تعیین اکسترمم های نسبی استفاده می‌کنیم.

تمرین

تابع با ضابطه زیر را در نظر بگیرید، اکسترمم های نسبی آن را بررسی کنید:

fx=x13

if   fx=x13f'x=3x12    ;    f'x=0           3x12=0           x=1


f'1=0 برقرار است، اما تابع در نقطه x=1 اکسترمم های نسبی ندارد زیرا همواره f'x0 و تابع در R اکیدا صعودی است.


اکسترمم نسبی - پیمان گردلو  

 حالت دوم- 

ممکن است f'c موجود نباشد (نقاط زاویه دار) یا نامتناهی باشد (نقاط بازگشتی).

اکسترمم نسبی - پیمان گردلو

در هر دو حالت اخیر نقطه c بحرانی است. 

طبق تعریف فوق هر نقطه اکسترمم نسبی، یک نقطه بحرانی است اما هر نقطه بحرانی، اکسترمم نسبی نمی‌باشد.

آزمون مشتق اول

اگر تابع y=fx در بازه a,b پیوسته و f' در بازه a,b به جز احتمالا در نقطه c (نقطه بحرانی) از این بازه وجود داشته باشد:

1- آزمون مشتق اول برای نقاط ماکزیمم نسبی به صورت زیر است:

if  xa,b    ;    x<c  ,  f'x>0xa,b    ;    x>c  ,  f'x<0

آنگاه f در c ماکزیمم نسبی دارد، به عبارت دیگر:

اگر علامت f' در x=c از مثبت به منفی تغییر کند، آنگاه x=c طول نقطه ماکزیمم نسبی تابع f است.

اکسترمم نسبی - پیمان گردلو   

در شکل فوق وقتی می‌گوئیم f در فاصله a,c دارای f'>0 است، یعنی تمام خطوط مماسی که در این فاصله بر f رسم شود، دارای ضریب زاویه مثبت است و با قسمت مثبت محور x ها زاویه حاده می‌سازد.   

2- آزمون مشتق اول برای نقاط مینیموم نسبی به صورت زیر است:

if   xa,b    ;    x<c  ,  f'x<0xa,b    ;    x>c  ,  f'x>0

آنگاه f در c مینیموم نسبی دارد، به عبارت دیگر:

اگر علامت f' در x=c از منفی به مثبت تغییر کند، آنگاه x=c طول نقطه مینیموم نسبی تابع f است.

اکسترمم نسبی - پیمان گردلو

در شکل فوق وقتی می‌گوئیم f در فاصله c,b دارای f'<0 است، یعنی تمام خطوط مماسی که در این فاصله بر f رسم شود، دارای ضریب زاویه منفی است و با قسمت مثبت محور x ها زاویه منفرجه می‌سازد.  

3- اگر f' در x=c تغییر علامت ندهد، به طوری‌که f' در یک همسایگی محذوف c همواره مثبت (یا همواره منفی) باشد، آنگاه f در c ماکزیمم یا مینیمم نسبی ندارد.

اکسترمم نسبی - پیمان گردلو      

تذکر

مطلب بالا بیان می‌کند که شرط لازم و کافی برای آنکه تابع f در نقطه x=c دارای اکسترمم نسبی باشد آن است که تابع در x=c پیوسته و مشتق در یک همسایگی محذوفه نقطه به طول c تغییر علامت دهد. 

تمرین

نشان دهید تابع زیر در نقطه x=1 طول نقطه max نسبی است:

fx=x123

if  fx=x123f'x=23x113f'x=23x13if   x>1f'x<0if   x<1f'x>0


x=1 طول نقطه بحرانی تابع است زیرا به‌ازای آن f'1 نامتناهی می‌شود.


تابع f در x=1 پيوسته است و در همسایگی این نقطه تغییر علامت می‌دهد‌، بنابراین x=1 طول نقطه max نسبی است.   

دریافت مثال

نکته

اگر وضعیت اکسترمم نسبی تابع را برای چند نقطه بخواهیم بررسی کنیم، بهتر است از جدول تغییرات تابع استفاده می‌کنیم.

دریافت مثال

نکته

عکس آزمون مشتق اول همواره برقرار نمی‌باشد.

ممکن است تابع پیوسته f در نقطه x=c دارای ماکزیمم یا مینیموم نسبی باشد، اما f' در هر دو طرف نقطه x=c تغییر علامت ندهد.     

این وضعیت در توابعی اتفاق می‌افتد که مشتق در یک همسایگی نقطه، نامتناهی ریشه دارد.

تمرین

تابع با ضابطه زیر را در نظر بگیرید، اکسترمم های نسبی آن را بررسی کنید:

fx=x42+sin1x    ;    x00                                    ;      x=0

f'x=4x32+sin1xx2cos1x    ;    x00                                                               ;    x=0    ;    x>0f'x>0x<0f'x<0


f در x=0 پیوسته است و در همسایگی این نقطه تغییر علامت می‌دهد، بنابراین x=0 طول مینیموم نسبی است.


اگر با استفاده از کامپیوتر، شکل هندسی تابع فوق را رسم کنیم، مشاهده خواهیم کرد که مشتق در نامتناهی نقطه از یک همسایگی راست x=0  ، هم مثبت و هم منفی است یعنی هیچ همسایگی راست صفر وجود ندارد که مشتق به ازای هر x از آن مثبت باشد.   

نکته

به این نکته مهم توجه کنید که قضیه آزمون مشتق اول فقط برای توابع پیوسته و مشتق پذیر به کار می‌رود.

اگر تابع پیوسته نباشد هرگز نباید از این آزمون استفاده کرد.

در توابع ناپیوسته ممکن است تابع در نقطه ای اکسترمم نسبی داشته باشد اما مشتق در همسایگی نقطه تغییر علامت ندهد و در هر دو طرف یا صعودی باشد یا نزولی.

به عبارت دیگر در هر نقطه از اکسترمم نسبی، لازم نیست مشتق تغییر علامت دهد.

اکسترمم نسبی - پیمان گردلو

در شکل فوق تابع در نقطه x=c ناپیوسته است و ماکزیمم نسبی دارد در حالی که مشتق در همسایگی این نقطه تغییر علامت نمی‌دهد و در هر دو طرف نقطه c نزولی می‌باشد.   

دریافت مثال

نکته

فرض کنیم f'x=gxxa و ga0 و تابع g در a پیوسته باشد، آنگاه:

1- f در نقطه a ماکزیمم نسبی دارد، اگر ga<0   

2- f در نقطه a مینیموم نسبی دارد، اگر ga>0  

if  ga>0x>af'x>0if  ga>0x<af'x<0

دریافت مثال

نکته

در توابع پیوسته اگر x=c طول نقطه اکسترمم نسبی باشد، لزومی ندارد تابع در آن نقطه مشتق پذیر باشد. 

مثلا تمام نقاط بازگشت و زاویه دار می‌توانند اکسترمم نسبی باشند.

تمرین

در شکل زیر، نقطه x=a نقطه بازگشت و ماکزیمم نسبی می‌باشد و نقطه x=b نقطه زاویه دار و مینیموم نسبی می‌باشد. 

اکسترمم نسبی - پیمان گردلو

دریافت مثال

آزمون مشتق دوم

مقدمه:

اگر تابع f بر بازه a,b پیوسته باشد، قضیه مقدار اکسترمم، وجود ماکزیمم و مینیموم نسبی تابع را در فاصله a,b حدس می‌زند، بنابراین اکسترمم های نسبی فقط در مکان های زیر روی می‌دهد:

1- در نقاط درونی c از a,b که f' در هر نقطه ای مانند f'c=0 وجود داشته باشد به شرطی که درآن نقطه مشتق تغییرعلامت دهد.

2- در نقاطی که مشتق وجود ندارد (نقاط زاویه دار یا بازگشت) اما در آن نقطه مشتق تغییر علامت می‌دهد و در آن نقطه تابع پیوسته است.   

تذکر

نقاط از نوع 1 و 2 جزء نقاط بحرانی تابع هستند، اما هر نقطه بحرانی یک نقطه اکسترمم نمی‌تواند باشد.

برای تشخیص نقاط اکسترمم، از مشتق دوم تابع می‌توان کمک گرفت و تعیین کرد که در چه نقاط بحرانی، تابع دارای اکسترمم است.

این آزمون برای نقاط از نوع 2 مورد استفاده واقع نمی‌شود زیرا در نوع 2 مشتق اول در نتیجه مشتق دوم وجود ندارد. 

تعریف: فرض کنیم c یک نقطه بحرانی از تابع f باشد و f'c=0 و به ازای هر x از یک همسایگی c توابع f' و f'' وجود داشته باشد، در این صورت:

1- اگر f''c>0 آنگاه f در نقطه c مینیموم نسبی است. 

2- اگر f''c<0 آنگاه f در نقطه c ماکزبمم نسبی است. 

اگر f''c=0 یا f''c وجود نداشته باشد، آنگاه آزمون مشتق دوم برای تعیین اکسترمم های نسبی مناسب نیست و بایستی ازآزمون مشتق اول استفاده کرد و تغییرات و علامت مشتق را دو طرف این نقطه بررسی کرد.

بعدا خواهیم دید که نقطه x=c ممکن است طول نقطه عطف باشد.

اکسترمم نسبی - پیمان گردلو

اثبات

f''c<0f''c=limxcf'xf'cxc<0

یک همسایگی نقطه c از a,b وجود دارد به طوری‌که به ازای هر x از a,b اگر xc باشد و چون f'c موجود و f'c=0 ، پس تابع در c پیوسته است و داریم:   

f'xf'cxc<0

Ι     if  a<x<cxc<0f'xf'c>0f'x>f'cf'x>0ΙΙ  if   c<x<bxc>0f'xf'c<0f'x<f'cf'x<0x<cf'x>0x>cf'x<0


پس بنا به آزمون مشتق اول c یک نقطه ماکزیمم نسبی است.

در قسمت Ι چون کسر منفی است و مخرج آن هم منفی است پس صورت بایستی مثبت باشد. 

در قسمت ΙΙ چون کسر منفی است و مخرج آن هم مثبت است پس صورت بایستی منفی باشد. 

به همین ترتیب ثابت می‌شود که اگر f''c>0 آنگاه f در نقطه c مینیموم نسبی است.  

تمرین

نقاط اکسترمم نسبی تابع زیر را پيدا کنيد:

fx=3x5+5x3     ;     xR

محاسبه نقاط بحرانی:

if  fx=3x5+5x3f'x=15x4+15x2f'x=15x21x2    ;    f'x=015x21x2=0x=0,1,1

نقاط فوق نقاط بحرانی هستند.

f''x=154x3+2xif   x=1f''1=30f''1>0if   x=0f''0=0if   x=1f''1=30f''1<0

در x=-1 مینیمم نسبی وجود دارد.


در x=0 هيچ نتيجه‌ای نمی‌توان گرفت.


در x=1 ماکزیمم نسبی وجود دارد.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

اکسترمم های نسبی (با استفاده از مشتق)

10,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید