سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

آهنگ تغییرات تابع (آهنگ متوسط و لحظه‌ ای)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 36 مرتبه

آهنگ تغییرات تابع

مقدمه: با مفهوم سرعت متوسط در فیزیک آشنا شده‌اید.

اگر اتومبیلی در امتداد خط راست مسافت 280 کیلومتر را در 4 ساعت طی کند، سرعت متوسط آن در این زمان 2804=70 کیلومتر بر ساعت است.

با این حال ممکن است اتومبیل در لحظات مختلف سرعت‌های متفاوتی داشته باشد.

همچنین مطابق آنچه که در درس فیزیک آموخته‌اید، سرعت متوسط روی یک بازه زمانی خیلی کوچک، به سرعت لحظه‌ای نزدیک است.

اگر نمودار مکان - زمان در مورد حرکت اتومبیل را داشته باشیم، سرعت متوسط اتومبیل بین هر دو لحظه دلخواه، برابر شیب خطی است که نمودار مکان - زمان را در آن دو لحظه قطع می‌کند.

هم‌چنین در درس فیزیک، سرعت لحظه‌ای در هر لحظه‌ای دلخواه t ، برابر شیب خط مماس بر نمودار در آن لحظه تعریف شد.

با آنچه که درس‌های گذشته ملاحظه کردید، می‌توان گفت که سرعت در لحظه t همان مقدار مشتق تابع مکان - زمان در لحظه t است.

مفهوم مشتق را در بسیاری از پدیده‌های دیگر نیز می‌توان مشاهده کرد. 

تمرین

جسمی را از سطح زمین به طور عمودی پرتاب می‌کنیم و جهت حرکت به طرف بالا را مثبت در نظر می‌گیریم. فرض کنیم ارتفاع این جسم از سطح زمین در هر لحظه از معادله ht=5t2+40t بدست می‌آید.

2 ثانیه پس از پرتاب، این جسم در چه ارتفاعی از سطح زمین قرار می‌گیرد؟

ht=5t2+40th2=522+402h2=60

جسم پس از مدتی به زمین بر‌می‌گردد. نمودار مکان - زمان حرکت این جسم را در شکل نشان دهید.

سرعت متوسط این جسم را در بازه های زمانی 3,4,2,3,1,2,0,2 بدست آورید.  

v1=h2h020=602=30m/sv2=h2h121=25m/sv3=h3h232=75601=15m/sv3=h4h343=80751=5m/s

سرعت لحظه‌ای این جسم را زمان‌های t=4,  t=3  ,  t=2  ,  t=1 با استفاده از مشتق تابع h بدست آورید. 

ht=5t2+40th't=10t+40h'1=30m/sh'2=20m/sh'3=10m/sh'4=0m/s

در چه زمانی جسم به بالاترین ارتفاع خود از سطح زمین می‌رسد؟

در بالاترین ارتفاع، سرعت جسم صفر است:

vt=h't=10t+400=10t+40t=4

سرعت جسم هنگام پرتاب و هنگام برخورد به زمین را به دست آورید.

vt=h't=10t+40


در هنگام پرتاب، t=0 است، سرعت جسم برابر است با: 

vt=h't=10t+40v0=100+40=40 m/s


در هنگام برخورد به زمین، t=8 است، سرعت جسم برابر است با: 

vt=h't=10t+40v8=108+40=-40 m/s


علامت منفی به این معنی است که حرکت جسم به سمت پائین است.

لحظاتی را معلوم کنید که سرعت جسم 35 m/s و -35 m/s است.

vt=h't=10t+40    35=10t+40t=0.5  s35=10t+40t=7.5   s

آهنگ متوسط تغییرات تابع

آهنگ متوسط تغییر تابع fx در مقابل هر واحد تغییر x در بازه x1,x2 عبارت است از:

ΔyΔx=fx2fx1x2x1

آهنگ متوسط تغییر با شیب خط قاطع درآن نقطه برابر است.

تمرین

تابع‌ زیر مفروض است، آهنگ متوسط تغییر این تابع وقتی متغیر از x1=2 به x2=6 تغییر کند را بیابید.  

fx=x2+6x7

x1=2f2=22+627=9x2=6f6=62+667=65ΔyΔx=f6f262=6594=564=14

تمرین

جدول زیر درجه حرارت T بر حسب سانتی‌گراد را در شهری از ساعت 8 تا 18 در یک روز نشان می‌دهد.

آهنگ متوسط تغییرِ درجه حرارت نسبت به زمان را در بازه‌های مختلف زیر بدست آورید.

8,12

T12T8128=19114=84=2


در بازه زمانی 8,12 درجه حرارت با آهنگ 2 درجه سانتی گراد در ساعت در حال افزایش است.  

12,18

T18T121812=9196=106=53


در بازه زمانی 12,18 درجه حرارت با آهنگ 53 درجه سانتی گراد در ساعت در حال کاهش است.  

آهنگ لحظه‌ای تغییرات تابع                  

آهنگ لحظه‌ای (آنی) تغییر تابع fx نسبت به x حد آهنگ متوسط است وقتی h0 میل می‌کند:

limh0fx+hfxh=f'x

آهنگ لحظه‌ای تغییر با مقدار مشتق و شیب خط مماس درآن نقطه برابر است.

تمرین

تابع زیر مفروض است، آهنگ لحظه‌ای تغییر این تابع را با استفاده از تعریف مشتق در نقطه x0=4 بدست آورید.

fx=x2+6x7

limh0fx0+hfx0h=limh0limf4+hf4h=limh04+h2+64+h742+647h=limh016+8h+h2+24+6h733h=limh033+14h+h233h=limh014h+h2h=limh0h14+hh=limh014+h=14

آهنگ لحظه‌ای تغییر این تابع را در نقطه x0=4 را از طریق مشتق گیری محاسبه کنید.  

fx=x2+6x7f'x=2x+6    ;    x=4f'4=24+6f'4=14

دریافت مثال

کاربردهایی از آهنگ تغییرات تابع

آهنگ رشد 

تمرین

تابع زیر قد متوسط کودکان را بر حسب سانتی‌متر تا حدود 60 ماهگی نشان می‌دهد، که در آن x مدت زمان پس از تولد بر حسب ماه است. 

fx=7x+50

آهنگ متوسط رشد در بازه زمانی 0,60 را بیابید.

f60f0600=760+5050600/9


یعنی در طی 5 سال معادل 60 ماه، رشد متوسط قد حدود 0/9 سانتی‌متر در هر ماه است. 

نمودار این تابع را رسم کنید.

آهنگ متوسط رشد در بازه زمانی 0,25 چقدر است؟ 

f25f0250=725+505025=3525=1.4  cm/month

آهنگ لحظه‌ای تغییر قد کودک را در 25 ماهگی و 49 ماهگی با هم مقایسه کنید. کدام یک بیشتر است؟  

fx=7x+50f'x=72xf'25=7225=710=0.7f'49=7249=714=12=0.5f'25>f'49

نرخ باروری

نمودار زیر روند رو به کاهش نرخ باروری در کشورمان را طی نیم قرن نمایش می‌دهد.

آهنگ متوسط تغییر باروری در بازه زمانی 1339,1389 در مدت 50 سال برابر است با:

1/6713891339=5/450=0/108

آهنگ تغییرات در فیزیک

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

آهنگ تغییرات تابع (آهنگ متوسط و لحظه‌ای)

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید