سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

معادله خطوط مماس و قائم بر منحنی در نقطه ای واقع برآن

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 44 مرتبه

معادلات خطوط مماس و قائم بر منحنی

برای یافتن معادلات خطوط مماس و قائم بر منحنی در نقطه ای واقع برآن، سه مرحله زیر را به ترتیب انجام می‌دهیم:

معادله خطوط مماس و قائم - پیمان گردلو

1- مختصات نقطه را از روی معادله منحنی تکمیل می‌کنیم. (اگر طول نقطه موجود باشد عرضش را یافته و برعکس)

2- یافتن ضریب زاویه خط مماس و قائم بر منحنی:

  • ضریب زاویه خط مماس بر منحنی را با استفاده از مشتق منحنی به ازای طول نقطه تماس، بدست می‌آوریم.
  • ضریب زاویه خط قائم بر منحنی را از روی ضریب زاویه خط مماس بر منحنی با قرینه و معکوس کردن آن محاسبه می‌کنیم. 

3- با داشتن مختصات یک نقطه مانند AxA,yA و داشتن ضریب زاویه، معادلات خطوط مماس و قائم را به صورت زیر می‌نویسیم:

yyA=mxxA:معادله خط مماس

yyA=1mxxA:معادله خط قائم

تمرین

معادله خطوط مماس و قائم بر نمودار تابع زیر را در نقطه ای به طول x=1 روی نمودار، به‌دست آورید.

fx=11+x2

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی:

if  xA=1f1=11+12=12yA=12    ;    A1,12

یافتن ضریب زاویه خط مماس بر منحنی:

iffx=11+x2f'x=2x1+x22    ;    xA=1f'1=211+122m=12

معادلات خطوط مماس و قائم:

yyA=mxxAy12=12x1y=12x+1yyA=1mxxAy12=2x1y=2x32

تمرین

معادله خطوط مماس و قائم بر نمودار تابع زیر را در نقطه ای به طول x=-1 روی نمودار، به‌دست آورید.

fx=4x2

یافتن مختصات کامل نقطه از روی معادله منحنی:

if  xA=1f1=412yA=3    ;    A1,3

یافتن ضریب زاویه خط مماس بر منحنی:

if  fx=4x2f'x=x4x2    ;    xA=1f'1=1412m=13

معادلات خطوط مماس و قائم:

yyA=mxxAy3=13x1y=13x+13+3y=13x+43yyA=1mxxAy3=3x1y=3x3+3y=3x

نکته

اگر تابع y=fx در نقطه x=xA پیوسته باشد و ضریب زاویه خط مماس در حالت خاصی به یکی از دو صورت زیر باشد، داریم:

if  f'xA=0m=0y=yA1m=±x=xA

y=yA معادله خط مماس و x=xA معادله خط قائم می‌باشد. 

if  f'xA=±m=±x=xA1m=0y=yA

x=xA معادله خط مماس و y=yA معادله خط قائم می‌باشد.

یادآوری

فرمول مشتق توابع را در زیر یادآوری می‌کنیم:

k'=0xn'=nxn1un'=nun1.u'u+vw'=u'+v'w'u.v'=u'.v+v'uuv'=u'vv'uv2u'=u'2uupm'=pu'mumpm

sinu'=u'cosucosu'=u'sinutanu'=u'1+tan2ucotgu'=u'1+cotg2usinmu'=mu'cosu.sinm1ucosmu'=mu'sinu.cosm1utanmu'=mu'.1+tan2u.tanm1ucotmu'=mu'.1+cot2u.cotm1u

secu'=u'secu.tanucscu'=u'cscu.cotuArcsinu'  =u'1u2    ;    u<1Arccosu'  =u'1u2    ;    u<1Arctanu'=u'1+u2    ;    uRArccotu'=u'1+u2    ;    uRu'=u'uulnu'=u'u

logau'=u'u.logaeeu'=u'.euau'=u'.au.lnaif  fx,y=0  yx'=fx'fy'     ,      xy'=fy'fx'if  y=fnxy'=nf'xfn1x    ,   nNif  x=fty=gty'x=y'tx't

دریافت مثال

نکته

برای توابعی که عمل مشتق گیری پیچیده است، بهتر است برای یافتن ضریب زاویه خط مماس، از تعریف مشتق به صورت های زیر استفاده کنیم:

m=f'xA=limxxAfxfxAxxAm=f'xA=limh0fxA+hfxAh

تمرین

معادله مماس بر نمودار تابع با ضابطه زیر را در نقطه x=1 بنویسید.

fx=x3x3

1    if  xA=1yA=0    ;     A1,02    m=f'1m=limx1fxf1x1m=limx1x3x30x1m=limx1xx21x133m=+

دریافت مثال

معادلات خطوط مماس و خط قائم بر منحنی تابع معکوس

اگر AxA,yAf آنگاه A'yA,xAf1 و با شرط وجود مشتق،‌ داریم:

شیب مماس بر تابع معکوس در نقطه ای به طول yA روی تابع معکوس، برابر با عکس شیب مماس بر تابع در نقطه ای به طول xA روی تابع می‌باشد.  

mf1:   f1'yA=1f'xA

شیب قائم بر تابع معکوس در نقطه ای به طول yA روی تابع معکوس، برابر با قرینه شیب مماس بر تابع در نقطه ای به طول xA روی تابع می‌باشد.  

1mf1:1f1'yA=f'xA

تذکر

مشتق در نقطه ای به طول yA روی تابع معکوس، عکس مشتق خود تابع در نقطه ای به طول xA روی تابع است.  

تمرین

ضريب زاويه خط قائم بر تابع معكوس تابع با ضابطه زیر را در نقطه ای به طول π روی تابع معكوس را بیابید. 

fx=x+sinx

1     if   A'πf1Aπfif   yA=ππ=x+sinxxA=πAππfA'ππf1


 (2شیب مماس در f-1:

f1'yA=1f'xAf1'π=1f'π    ;    f'x=1+cosxf1'π=11+cosπf1'π=10f1'π=


شیب قائم در f-1 برابر است با -1=0

دریافت مثال

معادلات مماس چپ و مماس راست

فرض کنید AxA,yA نقطه ای از نمودار منحنی تابع y=fx باشد:

1- اگر در نقطه A، تابع y=fx مشتق راست داشته باشد، می‌گوئیم f در این نقطه، مماس راست دارد و معادله آن عبارت است از:

yyA=f'+xAxxA

2- اگر در نقطه A، تابع y=fx مشتق چپ داشته باشد، می‌گوئیم f در این نقطه، مماس چپ دارد و معادله آن عبارت است از:

yyA=f'-xAxxA

نکته

گاهی به مماس چپ و راست به ترتیب نیم مماس چپ و نیم مماس راست گفته می‌شود، مانند y=x.

قضیه

اگر تابع y=fx در نقطه a دارای خط مماس غیر عمودی باشد، آنگاه در a پیوسته است.   

اثبات

چون خط مماس غیر عمودی وجود دارد، پس موجود و عددی حقیقی است:

m=limxafxfaxa

این حد، شیب مماس است و در نتیجه:

limxafxfa=limxafxfaxaxalimxafxfa=mlimxaxalimxafxfa=0limxafxlimxafa=0limxafx=limxafalimxafx=fa

یعنی f در x=a پیوسته است.

تذکر

عکس قضیه فوق همواره صحیح نیست، یعنی اگر تابع y=fx در نقطه a پیوسته باشد، نمی‌توان نتیجه گرفت که در x=a دارای خط مماس باشد، مانند تابع y=x.  

در مماس عمودی حتما باید پیوستگی ذکر شود زیرا و با بیان x-,+ نمی‌توان پیوستگی limxafxfaxa را نتیجه گرفت. 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

معادله خطوط مماس و قائم بر منحنی در نقطه ای واقع برآن

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید