سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

اکسترمم‌ های نسبی (خاصیت نقاط)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 23 مرتبه

خاصیت نقاط اکسترمم

1- اگر گفته شود که منحنی تابع y=fx در نقطه ای به طول x0 دارای ماکزیمم یا مینیموم است، باید مشتق تابع را به ازای x0 برابر صفر شود:

f'x0=0

تمرین

در تابع زیر مقدار a را طوری بیابید که منحنی از مینیمومی به طول 2 بگذرد.

fx=ax2+3a+1x1

x=-2 طول نقطه مینیموم است و در مشتق تابع صادق است:

fx=ax2+3a+1x1f'x=2ax+3a+1    ;    f'x=0         2ax+3a+1=0               ;    x=2         4a+3a+1=0         a+1=0         a=1

 2- اگر گفته شود که نقطه Ax0,y0 نقطه ماکزیمم یا مینیموم منحنی y=fx است، دو عمل زیر را انجام می‌دهیم:

چون Ax0,y0 نقطه ای از منحنی تابع هست پس در خود تابع صادق است، یعنی fx0=y0.

مشتق تابع را به ازای x0 برابر صفر قرار می‌دهیم، یعنی f'x0=0     

تمرین

مقادیر a و b را طوری پیدا کنید که منحنی زیر در نقطه A2,5 مینیموم تابع بوده و در نقطه ای به طول 52 بر خطی به موازات نیمساز ربع اول مماس باشد.

fx=ax2+bx+c

if  fx=ax2+bx+cf'x=2ax+b


نقطه A2,5 مینیموم تابع است:

f2=55=4a+2b+cf'2=04a+b=0


اگر خط d نیمساز ربع اول به موازات خط d' مماس بر منحنی در نقطه ای به طول 52 باشد، داریم:


اکسترمم نسبی - پیمان گردلو 

  d:m=1d':m'=f'52m'=2a52+bif  dd'm=m'1=5a+b


از حل دستگاه زیر، داریم:

5=4a+2b+c4a+b=01=5a+ba=1b=4c=9

دریافت مثال

 3- اگر گفته شود که منحنی دارای ماکزیمم یا مینیمومی برابر y0 است، منظور آن است که عرض نقطه ماکزیمم یا مینیموم برابر y0 است.

در چنین موقعی مشتق تابع را برابر صفر قرار داده x را پیدا می‌کنیم، در این حالت x و y هر دو معلومند، آن را در دستور منحنی صدق می‌دهیم.

تمرین

در تابع زیر مقدار a را طوری بیابید که منحنی دارای مینیمومی برابر 1 باشد.

fx=x2ax+2

fx=x2ax+2f'x=2xa


Ax,1 نقطه مینیموم تابع است:

f'x=02xa=02x=ax=a2


Aa2,1 نقطه مینیموم تابع است و در معادله صادق است:

fa2=1a22aa2+2=1a=±2

دریافت مثال

 4- در توابع کسری y=fxgx مختصات نقطه ماکزیمم یا مینیموم علاوه بر اینکه در معادله منحنی و در y'=0 صدق می‌کند، در هوپیتال تابع هم صدق می‌کند.

 اگر x0 طول نقطه اکسترمم تابع باشد، داریم:

y=fxgxy'=f'x.gxg'xfxgx2    ;    y'=0f'x.gxg'xfxgx2=0f'x.gxg'xfx=0f'xgx=g'xfxfxgx=f'xg'x    ;    x=x0fx0gx0=f'x0g'x0

الف- نقاط ماکزیمم و مینیموم نسبی تابع y=ax2+bx+cb'x+c' در صورت وجود، در هوپیتال تابع یعنی yH=2ax+bb' صدق می‌کنند.

حالت هوپیتال تابع خطی است که نقطه ماکزیمم منحنی را به نقطه مینیموم منحنی وصل می‌کند و از مرکز تقارن منحنی می‌گذرد.  

ب- نقاط ماکزیمم و مینیموم نسبی تابع y=ax2+bx+ca'x2+b'x+c' در صورت وجود در هوپیتال تابع یعنی yH=2ax+b2a'x+b' صدق می‌کنند.

پ- برای یافتن عرض نقطه اکسترمم منحنی توابع کسری، بجای اینکه طول اکسترمم را در معادله منحنی قرار دهیم، این طول را در هوپیتال 

تابع قرار داده و عرض نقطه اکسترمم را بدست می‌آوریم.  

ت- نتیجه آن که منحنی هوپیتال یک تابع کسری از نقاط اکسترمم منحنی می‌گذرد.

تمرین

در تابع زیر مقدار a و b را طوری بیابید که m3,8 نقطه مینیموم تابع باشد. 

fx=x+a2x+b

نقطه m3,8 در هوپیتال تابع و خود تابع صادق است:

y=yHy=2x+a18=23+a1a=1f3=88=3+a23+b8=163+bb=1

دریافت مثال

5- وقتی رابطه ای بین طول های نقاط اکسترمم تابع در دست باشد به طور معمول مشتق تابع را بدست آورده و ریشه های آن را به عنوان طول نقاط اکسترمم معرفی می‌کنیم.  

تمرین

در تابع زیر، اگر رابطه بین طول های نقاط اکسترمم تابع به صورت x'x''x'+x''=9 برقرار باشد، a را بدست آورید. 

fx=2x2x+ax2+1

if  fx=2x2x+ax2+1f'x=4x1x2+12x2x2x+ax2+12    ;    f'x=0  4x1x2+12x2x2x+a=04x3+4xx214x3+2x22ax=0x2+42ax1=0


جواب های معادله فوق یعنی x' و x'' طول نقاط اکسترمم تابع است:

x'x''x'+x''=9caba=91+42a1=9a=3

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

اکسترمم‌های نسبی (خاصیت نقاط)

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید