سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

اکسترمم های نسبی (جهت تغییرات تابع)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

جهت تغییرات تابع

اگر تابعی در یک فاصله صعودی باشد، مماس بر منحنی در هر نقطه از این فاصله با جهت مثبت محور x ها زاویه ای حاده ساخته و تانژانت این زاویه یعنی ضریب زاویه خط مماس، مثبت است در نتیجه f'x بازای هر نقطه از این فاصله مثبت است.

جهت تغییرات تابع - پیمان گردلو

اگر تابعی در یک فاصله نزولی باشد، مماس بر منحنی در هر نقطه از این فاصله با جهت مثبت محور x ها زاویه منفرجه ساخته و تانژانت این زاویه یعنی ضریب زاویه خط مماس، منفی است در نتیجه f'x بازای هر نقطه از این فاصله منفی است.

جهت تغییرات تابع - پیمان گردلو 

تمرین

به شکل زیر توجه کنید و خطوط مماس در نقاط روی شکل را تحلیل کنید.

در نقاط C,B,A خط مماس به موازات محور x ها است یعنی زاویه ای که خط مماس با محور x ها می‌سازد α=0 است.

f'A=f'B=f'C=m=tan0f'A=f'B=f'C=m=0


خط مماس در نقطه D با محور x ها زاویه 90 می‌سازد.

f'D=m=tanπ2

در این نقطه، تعریف نشده است.

         

دریافت مثال

جدول و جهت تغییرات توابع چند جمله ای 

برای تشکیل جدول تغییرات توابع چند جمله ای:

  • ریشه مشتق را بدست می‎آوریم.
  • نقاط اکسترمم را مشخص می‌کنیم.

 اگر x=x0 ریشه مشتق باشد، مشتق را در جدولی به صورت زیر تعیین علامت می‌کنیم:

1- در فواصلی که مشتق مثبت است، تابع صعودی است که ردیف y را با علامت  مشخص می‌کنیم.

2- در فواصلی که مشتق منفی است، تابع نزولی است که ردیف y را با علامت  مشخص می‌کنیم.

تذکر

اگر مشتق ریشه مضاعف داشته باشد، به ازای این ریشه مضاعف صفر است، اما مشتق در دو طرف نقطه مضاعف تغییر علامت نمی‌دهد.

بعدا خواهیم دید که این ریشه ممکن است طول نقطه عطف باشد نه اکسترمم. 

تمرین

جهت تغییرات و نقاط اکسترمم منحنی را در تابع زیر بدست آورید.

y=x3x2

y=3xx3y'=33x2=0x=1y=2x=1y=2


limx+fx=limx+3xx3=limx+x3=+3=limxfx=limx3xx3=limxx3=3=+




دریافت مثال

جدول و جهت تغییرات توابع کسری

جدول تغییرات در توابع کسری مانند توابع چند جمله ای است، فقط باید خط انفصال را هم مشخص کنیم.

وقتی y± میل می‌کند، آنگاه باید مخرج کسر برابر صفر شود که در این صورت دو حالت به وجود می‌آید:

حالت اول: اگر x=x0 ریشه ساده مخرج باشد، خط x=x0 را خط انفصال ساده گوئیم و اهمیتش در تشکیل جدول توابع کسری آن است که: 

  • مشتق به ازای این نقطه صفر نمی‌شود و نامعین است.
  • در سمت چپ این خط، بی‌نهایتی را قرار می‌دهیم که هم علامت با مشتق باشد و در سمت راست این خط بی‌نهایتی را قرار می‌دهیم که هم علامت با مشتق نباشد.

تمرین

جهت تغییرات و نقاط اکسترمم منحنی را در تابع کسری زیر بدست آورید.

y=x3x5

y=x3x5y'=53x52<0y'<0


مشتق تابع همواره منفی است و تابع اکیدا نزولی است.


مجانب افقی:

y=limx±fx=limx±x3x5=13


مجانب قائم:

y±3x5=0x=53


x=53 خط انفصال ساده است.




به طور کلی برای تعیین علامت مشتق باید عددی دلخواهی به جای x در y' قرار دهیم و از روی عدد حاصل که برای y' بدست می‌آید، آن نقطه را تعیین علامت کنیم.

   

دریافت مثال

 حالت دوم: اگر x=x0 ریشه مضاعف مخرج باشد، خط x=x0 را خط انفصال مضاعف گوئیم و اهمیتش در تشکیل جدول توابع کسری آن است که: 

  • به ازای ریشه مضاعف مخرج، y' تغییر علامت می‌دهد ولی صفر نمی‌شود.
  • در جدول تغییرات، دو طرف خط انفصال دو بی‌نهایت هم علامت است. 

دریافت مثال

جدول و جهت تغییرات منحنی توابع رادیکالی

ابتدا دامنه تابع را پیدا می‌کنیم، سپس ریشه مشتق را بدست می‌آوریم، اگر x های بدست آمده در دامنه تابع باشد و در معادله رادیکالی مشتق صدق کند به عنوان ریشه مشتق به حساب می‌آید.

به طور کلی برای تعیین علامت مشتق باید عددی دلخواهی به جای x در y' قرار دهیم و از روی عدد حاصل که برای y' بدست می‌آید، آن نقطه را تعیین علامت کنیم و از ریشه های مشتق که می‌گذریم علامت را عوض می‌کنیم.

دریافت مثال

تعیین برد بعضی توابع به کمک جدول تغییرات

تمرین

برد توابع زیر را به کمک جدول تغییرات تابع به دست آورید.

fx=x22x+3

روش اول:

Df=Rf'x=2x2=0x=1


Rf=2,+


روش دوم:

fx=x22x+3=x22244+3=x12+2x120x12+22fx2Rf=2,+


روش سوم:

fx=x22x+3   x22x+3fx=0x=1±13fx1x=1±fx2

fx20fx2Rf=2,+

fx=x44x2+1

Df=Rf'x=4x38x=04xx22=0x=0  ,  ±2




Rf=3,+

fx=2xx2+1

Df=Rf'x=22x2x2+12=022x2=0x=±1limx±fx=limxfx=0



Rf=1,1

مثال‌ها و جواب‌ها

اکسترمم های نسبی (جهت تغییرات تابع)

2,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید