سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

معادله خطوط مماس بر منحنی از نقطه ای خارج آن

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 27 مرتبه

معادلات خطوط مماس بر منحنی

برای یافتن معادلات خطوط مماس بر منحنی در نقطه ای خارج از آن داریم:

معادلات خطوط مماس و قائم - پیمان گردلو

در شکل فوق اگر از نقطه pxp,yp خارج از منحنی، مماسی بر منحنی C به معادله y=fx رسم کنیم.

معادله مماس را به دو روش زیر می‌توان بدست آورد: 

روش m

در این روش فرض می‌کنیم ضریب زاویه مماس بر منحنی از نقطه pxp,yp خارج از منحنی برابر m باشد:

  • معادله خط مماس را با ضریب زاویه فرضی m می‌نویسیم.
  • خط مماس فرضی را با منحنی منحنی C به معادله y=fx قطع می‌دهیم و شرط ریشه مضاعف را برای معادله تقاطع می‌نویسیم، m بدست می‌آید در نتیجه معادله خط مماس مشخص می‌شود.     

نکته

اگر بخواهیم مختصات نقاط تماس خطوط مماس بر منحنی را بدست آوریم، کافی است در معادله تقاطع، مقدار m را قرار دهیم تا طول نقاط تماس و در نتیجه مختصات نقاط تماس بدست آید. 

تمرین

از نقطه p0,1 خارج از منحنی زیر، مماسهایی بر آن  رسم می‌كنيم:

y=x2+1

معادلات خطوط مماس را به‌دست آوريد.

  (1معادله فرضی خط مماس را می‌نویسیم:


yyp=mxxpy+1=mx0y=mx1


  (2معادله اين خط را با معادله منحنی قطع می‌دهيم:


y=mx1y=x2+1


معادله تقاطع را می‌نویسیم و و شرط ریشه مضاعف را برای معادله تقاطع می‌نویسیم:

x2+1=mx1x2mx+2=0    ;    Δ=0m2412=0m28=0m=±22


m=±22 ضريب زاويه های خطوط مماس است و معادله مماس به‌صورت زیر است:

y=mx1if  m=+22y=22x1if  m=22y=22x1

مختصات نقاط تماس خط مماس بر منحنی را به‌دست آوريد.

اگر بخواهيم مختصات نقاط تماس خطوط مماس بر منحنی را به‌دست آوريم،کافی است در معادله تقاطع مقدار m را قرار دهيم:

x2mx+2=0


if  m=22x222x+2=0x22=0x=2y=3


نقطه A12,3 ريشه مضاعف است و نقطه تماس خط مماس بر منحنی می‌باشد.

if  m=22x2+22x+2=0x+22=0x=2y=3


نقطه  A22,3 ريشه مضاعف است و نقطه تماس خط مماس بر منحنی می‌باشد.

دریافت مثال

روش α

در این روش فرض می‌کنیم xA=α طول نقطه تماس خط گذرنده از pxp,yp بر منحنی باشد:

1- معادله خط مماس بر منحنی در نقطه Aα,fα واقع بر منحنی را به صورت زیر می‌نویسیم:   

yfα=f'αxα

سپس مختصات نقطه pxp,yp را در این معادله قرار می‌دهیم تا α بدست آید.  

2- α مختصات نقطه تماس است، با داشتن α معادله مماس مشخص می‌شود.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

معادله خطوط مماس بر منحنی از نقطه ای خارج آن

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید