سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

معادلات خطوط قائم بر منحنی از نقطه ای خارج آن

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 21 مرتبه

معادلات خطوط قائم بر منحنی

برای نوشتن معادله خط  قائم بر منحنی، در این حالت فقط می‌توان از روش α استفاده کرد، زیرا با استفاده از روش m نمی‌توان شرط ریشه مضاعف را برای خط قائم به کار برد، چون خط قائم بر منحنی، منحنی را قطع می‌کند و بر منحنی مماس نیست.

در این روش فرض می‌کنیم xA=α طول نقطه تقاطع خط قائم گذرنده از Pxp,yp بر منحنی باشد:

1- معادله خط قائم بر منحنی در نقطه Aα,fα واقع بر منحنی را به صورت زیر می‌نویسیم:

yfα=1f'αxα

سپس مختصات نقطه Pxp,yp را در این معادله قرار می‌دهیم تا α بدست آید.

2- α مختصات نقطه پای عمود است، با داشتن α معادله خط قائم بر منحنی مشخص می‌شود.   

تمرین

از نقطه p1,1 قائمی بر منحنی y=x1x+1 رسم می‌کنیم:

معادله خط قائم را بدست آورید.

if   xA=αyA=α1α+1    ;    Aα,α1α+1


yfα=1f'αxαyα1α+1=1f'αxα    ;    f'x=2x+12yα1α+1=1 2α+12xαyα1α+1=α+122xα    ;    p1,11α1α+1=α+1221αα+14=4α+1=±2        α=1±2


معادله خط قائم به صورت زیر است:

yα1α+1=α+122xαif   α=1+2y=xif   α=12y=x


در هر دو حالت خط y=-x به دست می‌آید یعنی از نقطه p یک قائم بر منحنی فوق رسم می‌شود که در دو نقطه بر منحنی عمود است.

مختصات دو پای عمود بر منحنی را بدست آورید.

A11+2,12A212,2+1

تمرین

از نقطه A2,5 به نقاط مختلف نمودار تابع fx=x22 خطی رسم می‌کنیم. نقاطی را پیدا کنید که خط رسم شده بر نمودار این تابع عمود شود.

به شکل زیر توجه کنید:




یادآوری می‌کنیم که زاویه‌ بین یک خط و یک منحنی در نقطه‌ تقاطع ‌شان، عبارت است از زاویه‌ بین خط و مماس بر منحنی در آن نقطه.


از نقطه A2,5 خطوط قائم بر نمودار تابع fx=x22 رسم می‌کنیم:


فرض کنیم xP=α طول نقطه‌ تقاطع خط قائم گذرنده از نقطه‌ A بر منحنی باشد.  


معادله‌ خط قائم بر منحنی در نقطه Pα,fα واقع بر منحنی را به‌صورت زیر می‌نویسیم: 

yfα=1f'αxαyα22=12α2xα


مختصات نقطه A2,5 در معادله‌ی فوق صادق است:

5α22=12α22α10α22α23=α210α22α23α2=09α22α23=0α292α22=0α2=0α=2fα=0    ;    P2,092α22=0

92α22=09=2α22α22=4/5α2=±2/1

α2=2/1α=4/1fα=4/122=4/41             ;    P'4/1,4/41α2=2/1α=0/1fα=0/122=4/41    ;    P''0/1,4/41


از نقطه A2,5 سه خط عمود بر نمودار این تابع می‌توان رسم کرد و محل تقاطع خطوط عمود بر نمودار تابع عبارتند از:


P2,0P'4/1,4/41P''0/1,4/41

برای ارسال نظر وارد سایت شوید