سرفصل‌های این مبحث

کاربرد مشتق

نقطه عطف (نکات)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: کاربرد مشتق
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

1- در نقطه عطف، مشتق دوم در همسایگی این نقطه تغییر علامت می‌دهد و جهت تقعر منحنی عوض می‌شود و در این نقطه مماس برمنحنی از منحنی عبور می‌کند.

عکس این مطلب همواره صادق نیست. نمی توان گفت هر نقطه ای که در همسایگی آن، جهت تقعرش عوض می‌شود یک نقطه عطف است.

در حالات زیر تقعر در نقطه ای تغییر می‌کند اما آن نقطه یک نقطه عطف نیست:

حالت اول) مشتق دوم در همسایگی x=c تغییر علامت داده و تقعرش عوض می‌شود اما تابع در نقطه x=c تعریف نشده است.

نقطه عطف - پیمان گردلو

حالت دوم) مشتق دوم در همسایگی x=c تغییر علامت داده و تقعرش عوض می‌شود اما تابع در نقطه x=c پیوسته نیست.

نقطه عطف - پیمان گردلو

حالت سوم) مشتق دوم در همسایگی x=c تغییر علامت داده و تقعرش عوض می‌شود و تابع در نقطه x=c پیوسته است اما مشتق اول، متناهی (مماس غیر عمودی) یا نامتناهی (مماس عمودی) وجود ندارد و با نقاط زاویه دار یا بازگشتی مواجه می‌شویم، بنابراین نقاط زاویه دار و بازگشتی هیچ‌گاه نقطه عطف نخواهند بود.

نقطه عطف - پیمان گردلو

دریافت مثال

2- نقاط عطفی داریم که مشتق اول به ازای آن نقاط نامتناهی است (مماس عمودی است) و ممکن است مشتق دوم هم به ازای آن نقاط وجود نداشته باشد یا نامتناهی گردد، بنابراین در هر نقطه عطف لازم نیست مشتق دوم وجود داشته باشد.

اما اگر در نقطه عطف مشتق دوم وجود داشته باشد، صفر است.

تمرین

به تابع با ضابطه زیر توجه کنید:

fx=x3

      fx=x3fx=x13f'x=13x23f'x=13x23f''x=29x53f''x=29x53


نقطه عطف - پیمان گردلو

1- تابع در نقطه x=0 پیوسته است.


2- در x=0 مشتق اول نامتناهی است و مماس عمودی داریم. 


3- در همسایگی x=0 علامت y'' در طرفین این نقطه تغییر کرده و تقعرش عوض شده است و در این نقطه مشتق دوم نامتناهی است.


هر سه شرط برقرار است و x=0 طول نقطه عطف می‌باشد.  

3- به طور کلی در توابع fx=xcmn با فرض n3 و n>m و n و m فرد باشند، آنگاه x=c طول نقطه عطف است.  

دریافت مثال

4- نقاط عطفی داریم که مشتق اول به ازای آنها موجود و متناهی است اما مشتق دوم به ازای آن نقاط وجود ندارد یا نامتناهی است.

این نوع نقاط عطف در نمودارها قابل تشخیص نمی‌باشند.

تمرین

تمام توابع با ضابطه های زیر در x=0 دارای این نوع نقاط عطف هستند: 

fx=xsinxfx=xsinxfx=xx3fx=xx3fx=xtanxfx=xtanx

تمرین

توابع زیر را رسم کرده و نقطه عطف را در نقطه x=0 مشاهده کنید:  

fx=xsinx

نقطه عطف - پیمان گردلو

fx=xx3

نقطه عطف - پیمان گردلو

دریافت مثال

 5- نقاط عطفی که به کمک مشتق اول تعیین می‌شوند. 

در توابع زیادی برای تعیین نقطه عطف از مشتق اول نیز استفاده می‌شود که در بعضی منابع درسی به آن اشاره شده است.

ریشه های مضاعف y'=f'x=0 را که تغییر علامت نمی‌دهند، طول نقطه عطف تابع است.

شاید این گفته حاصل یک تجربه باشد، زیرا در توابع زیادی چنین اتفاقی را مشاهده می‌کنیم اما این گفته همواره صحیح نیست.

تمرین

در تابع با ضابطه زیر، آیا x=0 نقطه عطف تابع است؟ 

fx=x3+x4sin1x      ;     x00                              ;     x=0

if   x0fx=x3+x4sin1xf'x=3x2+4x3sin1xx2.cos1xf'x=x23+4xsin1xcos1x


نقطه x=0 ریشه مضاعف مشتق اول است.

f'x=3x2+4x3sin1xx2cos1xf'x>0    ;      0<x<12f'x>0    ;       12<x<0


در یک همسایگی محذوفه صفر مانند 12<x<12 همواره f'x>0 و تغییر علامت نمی‌بینیم و تابع در این بازه اکیدا صعودی است.  

آیا طبق نکته فوق با استفاده از مفهوم مشتق دوم، تابع در x=0 نقطه عطف دارد؟

نشان می‌دهیم که در هیچ همسایگی از صفر، تقعر منحنی عوض نمی‌شود:

ابتدا مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

if    x=0  ;   f''0=limx0f'xf'0x0=limx03x2+4x3sin1xx2cos1xx=0if   x0   ;   f''x=6xsin1x6xcos1x+12x2sin1xf0=0limx0f''x=sin10f0limx0f''x


واضح است که f دو بار مشتق پذیر است، اما   f''در x=0 پیوسته نمی‌باشد و x=0 نقطه عطف نیست. 

نکته

اگر در نقطه ای مشتق اول صفر شده اما تغییر علامت ندهد و تابع در همسایگی نقطه، مشتق پذیر باشد و مشتق دوم در همسایگی محذوف این نقطه موجود باشد و نامتناهی ریشه نداشته باشد، آنگاه این نقطه، نقطه عطف محسوب می‌شود.

دریافت مثال

6- خطوط مجانب قائم در توابعی که انفصال آنها از نوع ساده است، طول نقطه عطف محسوب نمی‌شوند.

تمرین

مهمترین این توابع عبارتند از:

fx=1xfx=tanxfx=cotx

نقطه عطف - پیمان گردلو


در شکل وسط تابع fx=tanx در x=kπ نقطه عطف دارد اما به طور مثال x=π2 که مجانب قائم است، طول نقطه عطف محسوب نمی‌شود.

 
در شکل سمت راست  تابع fx=cotx در x=kπ+π2 نقطه عطف دارد اما به طور مثال x=π که مجانب قائم است، طول نقطه عطف محسوب نمی‌شود.

 7- در تابع چند جمله ای مشتق پذیر fx=xcngx که در آن gc0 و n2 می‌باشد:

حالت اول: اگر n عددی زوج باشد، x=c اکسترمم نسبی f است. برای تشخیص ماکزیمم از مینیمم داریم:

اگر gc>0 باشد، آنگاه x=c مینیمم نسبی است.     

اگر gc<0 باشد، آنگاه x=c ماکزیمم نسبی است.      

حالت دوم: اگر n عددی فرد باشد، x=c نقطه عطف تابع f است. 

اثبات

اثبات حالت اول:

if  fx=xcngxf'x=nxcn1gx+g'xxcnf'x=xcn1ngx+g'xxcf'x=xcn1g1x    ;    f'x=0xcn1g1x=0x=c

واضح است که g1c0 چون n زوج است n-1 فرد است، پس مشتق اول در x=c تغییر علامت می‌دهد در نتیجه اکسترمم نسبی است.  

اثبات حالت دوم:

if  fx=xcngxf'x=xcn1g1xf''x=n1xcn2g1x+g'1xxcn1f''x=xcn2n1g1x+g'1xxcf''x=xcn2g2x    ;    f''x=0xcn2g2x=0x=c

n فرد است و n-2 نیز فرد است، پس مشتق دوم در x=c تغییر علامت می‌دهد. 

در تابع fx=xcngx اگر n=1 باشد به ازای ریشه ساده x=c اکسترمم یا عطف نداریم. 

دریافت مثال

 8- مطلب زیر در تعیین نقاط عطف حتی بدون استفاده از مشتق اول مفید است. 

اگر f تابعی فرد باشد به‌طوری‌که در مبدا مختصات دارای مشتق اول باشد و مشتق دوم در همسایگی محذوف این نقطه موجود باشد، و نامتناهی ریشه نداشته باشد، آنگاه x=0 نقطه عطف است.

توجه کنید که:

  • چون f  تابعی فرد است و در x=0 تعریف شده، پس f0=0
  • چون f  تابعی فرد و مشتق پذیر است پس f' زوج است و در x=0 خط مماس وجود دارد.
  • چون  f' زوج است پس f'' تابعی فرد است و در یک همسایگی محذوف x=0 موجود و تعداد متناهی ریشه دارد.
  • عدد α>0 وجود دارد که f'' در بازه 0,α هیچ ریشه ای ندارد، در نتیجه همواره یک علامت دارد، مثلا مثبت است اما در بازه -α,0 چون f''x=f''x<0 پس در هر یک از بازه های 0,α و -α,0 علامت های مخالف دارد پس x=0 نقطه عطف تابع است.        

تمرین

توابع زیر همگی فرد هستند و در x=0 مشتق پذیر می‌باشند، بنابراین x=0 طول نقطه عطف است. 

fx=x55x3+x2sinxfx=x3x1+x2fx=xsinxfx=xtanxfx=xx3fx=xcosx

  • اگر f تابعی دو بار مشتق پذیر و فرد باشد و در بازه a,b با شرط 0<a<b تقعر f به بالا باشد، آنگاه در بازه -b,-a تقعر آن به پایین است.
  • اگر f تابعی دو بار مشتق پذیر و زوج باشد و در بازه a,b با شرط 0<a<b تقعر f به بالا باشد، آنگاه در بازه -b,-a تقعر آن به بالا است.
  • توجه شود برای تعیین بقیه نقاط عطف چنین توابعی باید به قضایای دیگری یا محاسبه مشتق دوم متوسل شد.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نقطه عطف (نکات)

7,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید