پیوستگی تابع مشتق

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 27 مرتبه

مقدمه: تاکنون برای محاسبه مشتق یک تابع در یک نقطه و هم‌چنین محاسبه مشتق های چپ و راست از تعریف مشتق استفاده می‌کردیم.

با استفاده از تعریف، محاسبه مشتق ساده نمی‌باشد.

نکاتی در ارتباط با حد تابع مشتق بیان می‌نمائیم، زیرا وقتی تابع در یک نقطه پیوسته باشد، آنگاه حد تابع با مقدار تابع در آن نقطه برابر است.

تعریف: اگر مشتق تابعی در یک نقطه پیوسته باشد، آنگاه حد تابع مشتق با مشتق تابع در آن نقطه برابر است.

فرض کنیم تابع y=fx در بازه b,c شامل نقطه a پیوسته و در b,ca مشتق متناهی یا نامتناهی داشته باشد.

اگر limxaf'x موجود و متناهی یا نامتناهی باشد، آنگاه f'a مشتق متناهی یا نامتناهی f نیز در a موجود و با آن برابر است، یعنی:

limxaf'x=f'af'+a=limxa+f'xf'a=limxaf'x

نکته

یک روش ساده برای یافتن مشتق توابع چند ضابطه ای به صورت زیر است:

الف) اگر تابع y=fx در نقطه x=a پیوستگی چپ داشته باشد و مشتق پذیر باشد، آنگاه: 

f'a=limxaf'x

ب) اگر تابع y=fx در نقطه x=a پیوستگی راست داشته باشد و مشتق پذیر باشد، آنگاه: 

f'+a=limxa+f'x

تمرین

تابع چند ضابطه ای زیر را در نظر بگیرید:

fx=56x     ;   x34x2  ;  x>3

آيا تابع در x=3 مشتق پذير است؟

تابع f در x=3 پیوسته است:

fx=56x     ;   x34x2  ;  x>3f'x=6     ;   x<32x  ;  x>3

f'+3=limx3+f'x=limx3+2x=6f'3=limx3f'x=6   f'+3=f'3

  تابع f در x=3 مشتق پذیر است:

دریافت مثال

نکته

بیان کردیم که اگر limxaf'x موجود باشد، آنگاه قطعا f'a  وجود دارد و مساویند، یعنی: 

limxaf'x=f'a

اما عکس مطلب فوق همواره برقرار نمی‌باشد، یعنی ممکن است f'a موجود باشد یا مشتق چپ یا راست موجود باشد، اما حد تابع مشتق یا حدهای چپ و راست تابع مشتق در آن نقطه موجود نباشد. 

در واقع تفاوت بین f'a و limxaf'x در همین نکته است.  

تمرین

تابع چند ضابطه ای زیر را در نظر بگیرید:

fx=x12sin1x1     ;    x10           ;   x=1

f'1 را حساب كنيد.

f'1=limx1fxf1x1=limx1x12sin1x10x1=limx1x1sin1x1=0

f'x را به‌دست آوريد.

f'x=x12sin1x1'=2x1sin1x1+x121x12cos1x1f'x=2x1sin1x1cos1x1      ;      x10               ;       x=1

آیا limx1f'x وجود دارد؟

limx1f'x=limx12x1sin1x1cos1x1=?


اين تمرین نشان می‌دهد كه ممكن است f'a وجود داشته باشد ولی limxaf'x موجود نباشد.


در واقع اگر limxaf'x موجود باشد، آن‌گاه قطعا f'a وجود دارد و با هم مساويند.   

دریافت مثال

نکته

در نکته قبل، حتی پیوسته بودن در نقطه مورد نظر کافی نمی‌باشد، باید در همسایگی نقطه، تابع پیوسته باشد تا عکس مطلب بیان شده برقرار باشد.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

پیوستگی تابع مشتق

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید