نقاطی که تابع در آن مشتق پذیر نیست (نقاط زاویه دار یا گوشه ای)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 34 مرتبه

تعریف: اگر تابع y=fx در نقطه x=a پیوسته باشد اما مشتق راست و چپ تابع در این نقطه دو عدد متفاوت باشد، تابع در آن نقطه مشتق پذیر نیست.

چنین نقطه ای را که fx در آن دارای مشتقات متناهی چپ و راست نابرابر می‌باشد، نقطه زاویه دار یا گوشه ای منحنی گویند.

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

نقاط زاویه دار - نقاط گوشه ای - پیمان گردلو

کدام نقطه زاویه دار است؟

تابع در نقطه x2 زاویه دار (گوشه ای) است.

آیا تابع در این نقطه مشتق پذیر است؟ 

مشتق چپ و راست در این نقطه با هم برابر نیست پس تابع در این نقطه مشتق پذیر نیست.

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

نقاط زاویه دار - نقاط گوشه ای - پیمان گردلو

کدام نقاط زاویه دار است؟ آیا تابع در این نقاط مشتق پذیر است؟  

تابع در نقاط x1 و x3  زاویه دار (گوشه ای) است. مشتق چپ و راست در این نقاط با هم برابر نیستند پس تابع در این نقاط مشتق پذیر نیستند.

نکته

در نقاط زاویه دار، مماس وجود ندارد ولی تابع در این نقاط، مماس چپ و مماس راست دارد.

وضعیت نمودار y=fx در همسایگی یک نقطه زاویه دار مانند x=a صورت‌های زیر است: 

حالت اول:

وقتی تابع در x=a پیوسته و f'+a و f'a دو عدد نابرابر باشند، وضعیت نمودار در همسایگی a یکی ازحالات زیر می‌تواند باشد:

نقاط زاویه دار - نقاط گوشه ای - پیمان گردلو


حالت دوم:

وقتی تابع در x=a پیوسته و f'+a و f'a یکی متناهی و دیگری نامتناهی باشد، وضعیت نمودار در همسایگی a یکی ازحالات زیر می‌تواند باشد:

نقاط زاویه دار - نقاط گوشه ای - پیمان گردلو

در شکل سمت چپ:

f'a=LRf'+a=

در شکل وسط:

f'+a=LRf'a=

در شکل سمت راست:

f'+a=LRf'a=+

توجه نمائید در حالت دوم برای تعیین علامت  کافی است یک مماس به تابع بزنید، اگر خط مماس محور x ها را به زاویه حاده قطع کند، علامت  مثبت است در غیر این صورت اگر زاویه منفرجه شود، علامت  منفی است.   

دریافت مثال

یادآوری

اگر تابع y=fx در نقطه x=a دارای دو مماس چپ و راست باشد، (a نقطه زاویه دار است) آنگاه α زاویه حاده بین خط های شامل این دو مماس، به صورت زیر محاسبه می‌شود:

نقاط زاویه دار - نقاط گوشه ای - پیمان گردلو

tanα=f'+af'a1+f'+a.f'a

تمرین

 تابع با ضابطه fx=x3+1   ;   x13x2   ;  x<1 را در در نظر بگیرید.

نمودار تابع فوق را رسم کنید.

نقاط زاویه دار - نقاط گوشه ای - پیمان گردلو

پیوستگی تابع f را در نقطه x=1 بررسی کنید. 

f1=2limx1fx=?        L1=limx1+fx=limx1+x3+1=2       L2=limx1fx=limx13x2=2limx1fx=f1=2


 تابع f را در نقطه x=1 پیوسته است.(پیوستگی تابع را در نقطه x=1 روی نمودار مشاهده کنید.)

مشتق پذیری تابع را در نقطه x=1 بررسی کنید.


محاسبه مشتق راست:

f'+1=limx1+fxf1x1=limx1+x3+12x1=limx1+x31x1=3


محاسبه مشتق چپ:

f'1=limx1fxf1x1=limx13x22x1=limx11x2x1=2


تابع f در x=1 مشتق پذیر نیست و همان‌طور که در شکل فوق مشاهده می‌کنید مشتق دو عدد نابرابر است و x=1 یک نقطه زاویه دار است.  

زاویه بین دو نیم مماس در نقطه به طول x=1 را به دست آورید:

tanα=f'+af'a1+f'+a.f'atanα=3+216tanα=1α=π4

نکته

توابع به شکل زیر را در نظر بگیرید:

fx=xx1xx2xxn

نقاط به طول x1,x2,...,xn ریشه های ساده داخل قدر مطلق را که تابع در این نقاط پیوسته است، اما مشتق چپ و راست تابع در این نقاط دو عدد متفاوت است، نقاط زاویه دار منحنی در نظر می‌گیریم.

تمرین

مشتق پذیری تابع زیر را نقطه x=2 بررسی کنید. (فرض کنید تابع در این نقطه پیوسته است.)

fx=x2-2x

f'2=limx2fxf2x2=limx2x22xx2


محاسبه مشتق راست:

f'+2=limx2++x22xx2=00limx2+xx2x2=limx2+x=2


محاسبه مشتق چپ:

f'2=limx2x22xx2=00limx2+xx2x2=limx2+x=2


تابع f در x=2 مشتق پذیر نیست و همان‌طور که در شکل زیر مشاهده می‌کنید مشتق دو عدد نابرابر است و x=2 یک نقطه زاویه دار است.


نقاط زاویه دار - نقاط گوشه ای - پیمان گردلو

ریشه های ساده تابع زیر، طول نقاط زاویه دار می‌باشد.

fx=x2-2x=xx2

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نقاطی که تابع در آن مشتق پذیر نیست (نقاط زاویه دار یا گوشه ای)

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید