مشتق پذیری در یک فاصله

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

مقدمه:

تاکنون با مفهوم مشتق تابع در یک نقطه معین، آشنا شده‌اید. 

حال به دنبال یافتن رابطه‌ای بین مجموعه نقاط متعلق به دامنه یک تابع و مشتق تابع در آن نقاط هستیم.

تمرین

تابع با ضابطه fx=x2 را در نظر می‌گیریم:

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

با استفاده از تعریف مشتق در یک نقطه، جدول زیر را کامل کنید. (مشتق تابع در برخی نقاط حساب شده‌اند)

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

f'3=limx3fxf3x+3=limx3x29x+3=limx3x3=6f'1=limx1fxf1x+1=limx1x21x+1=limx1x1=2f'12=limx12fxf12x12=limx12x214x12=limx12x+12=1


مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

حدس بزنید در چه نقاطی، مشتق تابع fx=x2 وجود دارد؟ (بررسی مشتق در یک فاصله)  

می‌دانیم مشتق تابع در یک نقطه (درصورت وجود) برابر با شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است و از طرفی مماس بر منحنی در هر نقطه یکتا است، بنابراین f'x تابعی از x است.

در قضیه زیر، مشتق یک تابع را در یک فاصله بررسی می‌کنیم. 

قضیه

اگر y=fx در فاصله ای پیوسته باشد و در تمام نقاط متعلق به این فاصله مشتق پذیر باشد، تابع مشتق به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

f'x=limh0fx+hfah

اثبات

مشتق تابع y=fx در نقطه x=a به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

f'a=limxafxfaxa

if   xa=h    ;    xah0x=a+h  f'a=limxafxfaxaf'a=limh0fa+hfah

تحلیل هندسی فرمول فوق به صورت زیر است:

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

شیب خط مماس بر تابع y=fx در هر فاصله پیوسته، عبارت است از:

f'x=limh0fx+hfxh

f'x را تابع مشتق تابع y=fx می‌نامیم. 

تعریف: اگر x عضوی از دامنه تابع f باشد، تابع مشتق f در x را با f'x نمایش می‌دهیم و آن را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: 

f'x=limh0fx+hfxh

مشروط بر آنکه حد فوق موجود باشد.

مجموعه نقاطی از دامنه f که برای آنها f' موجود باشد را دامنه f' می‌نامیم.

تمرین

تابع fx=x2 را در نظر بگیرید.   

ضابطه تابع f' در زیر ارائه شده است: 

f'x=limh0fx+hfxhf'x=limh0x+h2x2hf'x=limh0x2+2hx+h2x2hf'x=limh0h2x+hhf'x=limh02x+hf'x=2x

دامنه تابع مشتق را محاسبه کنید.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، تابع مشتق f'x=2x می‌باشد و Df'=R است.

به کمک تابع مشتق ، مشتق را در بعضی نقاط دلخواه محاسبه کنید.

fx=x2f'x=2xf'7=27f'50=100

یادآوری

1- هرگاه بخواهیم با استفاده از تعریف مشتق، مشتق f را در هر نقطه از xa,b بررسی کنیم، از فرمول فوق  استفاده می‌نمائیم. این فرمول برای محاسبه مشتق تابع در یک  فاصله استفاده می‌شود. 


2-
 از تعریف مشتق نتیجه می‌شود برای این‌که f'x وجود داشته باشد، لازم است که fx تعریف شده باشد پس دامنه f' زیر مجموعه ای از دامنه f به‌صورت Df'Df است.   


3-
 اگر تابع f در فاصله بسته a,b تعریف شده و در فاصله باز a,b مشتق پذیر باشد و در نقطه x=a مقدار f'+a موجود و متناهی و در نقطه  x=b مقدار f'-b موجود و متناهی باشد، آنگاه گوئیم تابع f در فاصله بسته a,b مشتق پذیر است و تابع مشتق به صورت زیر تعریف می‌شود:    

f':a,bRf'x=limh0fx+hfxh


4-
فرمول f'a=limh0fa+hfah را به صورت زیر هم نمایش می‌دهند:

a=xh=Δxf'x=limΔx0fx+ΔxfxΔx

در این فرمول x را نمو متغیر می‌نامیم. 

تمرین

نمودار تابع با ضابطه زیر رسم شده است:

fx=x2              ;    2x1x+1          ;    x>1

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

مشتق پذیری تابع f را روی بازه های مختلف بررسی کنید:

تابع f روی بازه های -2,1 و 1,+ مشتق پذیر است.


تابع f روی بازه 1,2 مشتق پذیر نیست، زیرا در نقطه x=1 تابع پیوسته نیست.

تمرین

تابع مشتق توابع زیر را محاسبه کنید و دامنه آن را معرفی کنید.

fx=x+1x1    ;    x=a

f'a=limh0fa+hfahf'a=limh0a+h+1a+h1a+1a1hf'a=limh0a+h+1a+h1a+1a1hf'a=limh0 a+h+1a1a+1a+h1a+h1a1hf'a=limh0a2a+hah+a1a2+aha+a+h1ha+h1a1f'a=limh0a2+hah1a2ahh+1ha+h1a1f'a=limh02hha+h1a1f'a=limh02a+h1a1f'a=2a1a1f'a=2a12


تابع مشتق f و دامنه‌ آن به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

f'x=2x12    ;    Df'=1

fx=x    ;    x=a

f'a=limh0fa+hfahf'a=limh0a+hah=00f'a=limh0a+hah×a+h+aa+h+af'a=limh0a+h2a2ha+h+af'a=limh0a+hah  .  a+h+aa+h+af'a=limh01×a+h+aa+h+af'a=limh02aa+af'a=2a2af'a=aa


تابع مشتق f و دامنه‌ آن به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

f'x=xx    ;    Df'=0

تمرین

تابع با ضابطه fx=x3 را در نظر بگیرید.

مشتق تابع فوق را در نقطه دلخواه x=a حساب کنید.

f'a=limh0fa+hfahf'a=limh0a+h3a3hf'a=limh0a3+3a2h+3ah2+h3a3hf'a=limh03a2h+3ah2+h3hf'a=limh03a2+3ah+h2f'a=3a2

معادله خط مماس بر نمودار تابع را در نقطه A1,1 بدست ‌آورید.

yyA=f'axxAy1=3a2x1

دریافت مثال

مشتق راست متناهی

فرض کنیم تابع f در بازه a,a+α تعریف شده  و α>0 باشد، هرگاه حدود زیر:

f'+a=limxa+fxfaxaf'+a=limh0+fa+hfah

موجود و متناهی و عدد حقیقی باشند، آن را مشتق راست متناهی تابع f در نقطه x=a می‌نامیم.   

از نظر هندسی یک مماس راست یا یک نیم مماس راست غیر عمود بر نمودار تابع در نقطه x=a وجود دارد که شیب آن برابر m=f'+a است. 

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

  • در شکل فوق، مماس بر هر نقطه از تابع y=fx با محور x ها زاویه حاده می‌سازد، بنابراین علامت مشتق مثبت است.
  • اگر تابع y=fx در x=a دارای مماس راست غیر عمودی باشد، آنگاه از راست در x=a پیوسته است و عکس این قضیه همواره صحیح نمی‌باشد.   

مشتق چپ متناهی

فرض کنیم تابع f در بازه aα,a تعریف شده  و α>0 باشد، هرگاه حدود زیر:

f'a=limxafxfaxaf'a=limh0fa+hfah

 موجود و متناهی و عدد حقیقی باشند، آن را مشتق چپ متناهی تابع f در نقطه x=a می‌نامیم.   

از نظر هندسی یک مماس چپ یا یک نیم مماس چپ غیر عمود بر نمودار تابع در نقطه x=a وجود دارد که شیب آن برابر m=f'-a است. 

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

  • در شکل فوق، مماس بر هر نقطه از تابع y=fx با محور x ها زاویه منفرجه می‌سازد، بنابراین علامت مشتق منفی است.
  • اگر تابع y=fx در x=a دارای مماس چپ غیر عمودی باشد، آنگاه از چپ در x=a پیوسته است و عکس این قضیه همواره صحیح نمی‌باشد.   

تمرین

تابع با ضابطه fx=x22x را در نظر بگیرید.   

آیا این تابع در x=2 پیوسته است؟

f2=0limx2fx=limx2x22x=0limx2fx=f2


تابع در x=2 پیوسته است.

مشتق تابع را در x=2 بررسی کنید. 

f2=limx2fxf2x2=limx2x22x0x2=00


بررسی مشتق راست:

f'+2=limx2+x22x0x2=limx2+xx2x2=limx2+x=2


بررسی مشتق چپ:

f'2=limx2x22x0x2=limx2xx2x2=limx2x=2

مشتقات راست و چپ متناهی تابع را بررسی کنید.

مشتق راست متناهی f'+2=2 و مشتق چپ متناهی f'+2=-2 است.

مشتق راست نامتناهی

فرض کنیم تابع f در بازه a,a+α تعریف شده  و α>0 باشد و در نقطه x=a پیوستگی راست داشته باشد، هرگاه حدود زیر:

f'+a=limxa+fxfaxaf'+a=limh0+fa+hfah

برابر با - یا + باشند، آن را مشتق راست نامتناهی در نقطه x=a می‌نامیم، در این صورت از لحاظ هندسی یک مماس راست عمود یا نیم مماس راست به معادله x=a بر نمودار وجود دارد.

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو    

در شکل سمت چپ، مماس بر هر نقطه f با محور x ها زاویه حاده می‌سازد، بنابراین علامت  مثبت است.

در شکل سمت راست، مماس بر هر نقطه f با محور x ها زاویه منفرجه می‌سازد، بنابراین علامت  منفی است.

اگر f  در a پیوستگی راست داشته باشد و هر یک از حدهای فوق + یا - باشد، خط x=a مماس راست بر نمودار تابع است، که خطی قائم است.

مشتق چپ نامتناهی

فرض کنیم تابع f در بازه aα,a تعریف شده  و α>0 باشد و در نقطه x=a پیوستگی چپ داشته باشد، هرگاه حدود زیر:

f'a=limxafxfaxaf'a=limh0fa+hfah

برابر با - یا + باشند، آن را مشتق چپ نامتناهی در نقطه x=a می‌نامیم، در این صورت از لحاظ هندسی یک مماس چپ عمود یا نیم مماس چپ به معادله x=a بر نمودار وجود دارد.

مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

در شکل سمت راست، مماس بر هر نقطه f با محور x ها زاویه حاده می‌سازد، بنابراین علامت  مثبت است.

در شکل سمت چپ، مماس بر هر نقطه f با محور x ها زاویه منفرجه می‌سازد، بنابراین علامت  منفی است.

اگر f در a پیوستگی چپ داشته باشد و هر یک از حدهای فوق + یا - باشد، خط x=a مماس چپ بر نمودار تابع است، که خطی قائم است.

تمرین

تابع با ضابطه fx=x123 را در نظر بگیرید.

آیا این تابع در x=1 پیوسته است؟

f1=0limx1fx=limx1x123=0f1=limx1fx=0


تابع در x=1 پیوسته است.

مشتق تابع را در x=1 بررسی کنید. 

f'1=limx1fxf1x1f'1=limx1x1230x1f'1=limx1x12x133f'1=limx11x13


بررسی مشتق راست:

f'+1=limx1+1x13=limx1+11+13=limx1+10+3=+


بررسی مشتق چپ:

f'1=limx11x13=limx11113=limx1103=


مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

تمرین

تابع با ضابطه fx=x13 را در نظر بگیرید.

آیا این تابع در x=1 پیوسته است؟

f1=0limx1fx=limx1x13=0f1=limx1fx=0


تابع در x=1 پیوسته است.

مشتق تابع را در x=1 بررسی کنید.

f'1=limx1fxf1x1f'1=limx1x130x1f'1=limx1x1x133f'1=limx11x12


بررسی مشتق راست:

f'+1=limx1+1x12=


بررسی مشتق چپ:

f'1=limx11x12=


مشتق پذیری در یک فاصله - پیمان گردلو

نکته

در تابع با ضابطه fx=xamn با شرط مفروض n,mN    n>m:

اگر n زوج باشد و m فرد، آنگاه در نقطه a,fa فقط یک نیم مماس راست یا چپ عمودی به معادله x=a داریم.

مثال‌ها و جواب‌ها

مشتق پذیری در یک فاصله

3,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید