قوانین مشتق گیری

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 91 مرتبه

مشتق تابع ثابت

قضیه

if   fx=cf'x=0

اثبات

روش اول:

f'x=limΔx0fx+ΔxfxΔxf'x=limΔx0ccΔxf'x=limΔx00Δxf'x=0

مشتق تابع ثابت در هر نقطه برابر صفر است.


روش دوم:

با استفاده از تعریف مشتق، مشتق تابع فوق را در نقطه‌ دلخواه a از دامنه‌ آنها تعیین می‌کنیم:

f'a=limxafxfaxaf'a=limxaccxaf'a=limxa0xaf'a=0

تمرین

با استفاده از قانون فوق، مشتق توابع زیر را بدست می‌آوریم.

fx=2

f'x=2'=0

fx=25

f'x=25'=0

fx=73

f'x=73'=0

مشتق تابع چند جمله‌ای

قضیه

if  fx=xnf'x=nxn1  ;  n

اثبات

روش اول:

f'x=limΔx0fx+ΔxfxΔxf'x=limΔx0x+ΔxnxnΔxf'x=limΔx0xn+nxn1.Δx+nn12xn2.Δ2x++ΔnxxnΔx

f'x=limΔx0xn+nΔxxn1+nn12.xn2Δ2x++ΔnxxnΔxf'x=limΔx0Δxnxn1+nn12.Δx.xn2++Δn1xΔxf'x=limΔx0nxn1+nn12.Δx.xn2++Δn1xf'x=nxn1


روش دوم:

با استفاده از تعریف مشتق، مشتق تابع فوق را در نقطه‌ دلخواه a از دامنه‌ آنها تعیین می‌کنیم:

f'a=limxafxfaxaf'a=limxaxnanxaf'a=limxaxaxn1+xn2a++an1xaf'a=limxaxn1+xn2a++an1f'a=an1+an1++an1f'a=nan1

تمرین

با استفاده از قانون فوق، مشتق توابع زیر را بدست می‌آوریم.

fx=x3

f'x=3x31=3x2

fx=x3

f'x=3x31=3x4

fx=x6

f'x=6x61=6x5

fx=x6

f'x=6x61=6x7

مشتق حاصل ضرب یک عدد در تابع

قضیه

if   tx=cfxt'x=cf'x    ;    c

اثبات

t'a=limxatxtaxat'a=limxacfxcfaxat'a=limxac.fxfaxat'a=c.limxafxfaxat'a=c.f'a

تمرین

با استفاده از قانون فوق، مشتق توابع زیر را بدست می‌آوریم.

fx=4x3

f'x=4x3'=43x2=12x2

fx=15x3

f'x=15x3'=153x4=35x4

fx=2x6

f'x=2x6'=26x5=12x5

fx=56x6

f'x=56x6'=566x7=5x7

مشتق مجموع دو تابع

قضیه

if   tx=fx+gxt'x=f'x+g'x    ;    x

اثبات

t'x=limΔx0tx+ΔxtxΔx   t'x=limΔx0fx+Δx+gx+Δxfx+gxΔxt'x=limΔx0fx+Δxfx+gx+ΔxgxΔxt'x=limΔx0fx+ΔxfxΔx+gx+ΔxgxΔxt'x=limΔx0fx+ΔxfxΔx+limΔx0gx+ΔxgxΔxt'x=f'x+g'x

مشتق تفاضل دو تابع

قضیه

if   tx=fxgxt'x=f'xg'x    ;    x

اثبات

روش اول:

t'x=limΔx0tx+ΔxtxΔx   t'x=limΔx0fx+Δxgx+ΔxfxgxΔxt'x=limΔx0fx+Δxfxgx+ΔxgxΔxt'x=limΔx0fx+ΔxfxΔxgx+ΔxgxΔxt'x=limΔx0fx+ΔxfxΔxlimΔx0gx+ΔxgxΔxt'x=f'xg'x


روش دوم:

دو تابع‌ f و g در نقطه a مشتق‌پذیر هستند:

fg'a=limxafgxfgaxafg'a=limxafxgxfagaxafg'a=limxafxgxfa+gaxafg'a=limxafxfagxgaxafg'a=limxafxfaxalimgxgaxafg'a=f'ag'a

تمرین

با استفاده از قانون فوق، مشتق توابع زیر را بدست می‌آوریم.

fx=7x+3

f'x=7x'+3'f'x=7x'+3'f'x=71+0f'x=7

fx=25x+4x2

f'x=2'5x'+4x2'f'x=2'5x'+4x2'f'x=051+42xf'x=5+8x

دریافت مثال

مشتق حاصل ضرب دو تابع

قضیه

if     tx=fx.gxt'x=f'xgx+g'xfx

روش اول:

اثبات

t'x=limΔx0tx+ΔxtxΔx  t'x=limΔx0fx+Δx.gx+Δxfx.gxΔx

t'x=limΔx0fx+Δx.gx+Δxfx.gx+gx.fx+Δxgx.fx+ΔxΔx

t'x=limΔx0fx+Δxfxgx+gx+Δxgxfx+ΔxΔxt'x=limΔx0fx+ΔxfxΔx.gx+limΔx0gx+ΔxgxΔx.fx+Δxt'x=f'xgx+g'xfx


روش دوم:

با استفاده از تعریف مشتق، مشتق تابع فوق را در نقطه‌ دلخواه a از دامنه‌ آنها تعیین می‌کنیم: 

f.g'a=limxafxgxfagaxaf.g'a=limxafxgx+fagxfagxfagaxaf.g'a=limxafxgxfagx+fagxfagaxa

f.g'a=limxagxfxfa+fagxgaxaf.g'a=limxafxfaxagx+limxagxgaxafaf.g'a=limxafxfaxalimxagx+limxagxgaxalimxafaf.g'a=f'aga+g'afa

تمرین

با استفاده از قانون فوق، مشتق توابع زیر را بدست می‌آوریم.

fx=2x+33x7

f'x=2x+3'.3x7+3x7'.2x+3f'x=23x7+32x+3f'x=6x14+6x+9f'x=12x5

fx=x3xx9

f'x=x3x'x9+x9'x3xf'x=3x21x9+1x3x

fx=x+1x22+x

f'x=x+1'12x2+x+12x2+x'x+1f'x=112x2+x+x+1x+1               f'x=12x2+x+x+12                              

دریافت مثال

مشتق تابع کسری

قضیه

if   tx=fxgxt'x=f'x.gxg'x.fxg2x

اثبات

روش اول:

t'x=limΔx0tx+ΔxtxΔxt'x=limΔx0fx+Δxgx+ΔxfxgxΔxt'x=limΔx0fx+Δx.gxgx+Δx.fxgx+Δx.gxΔx

t'x=limΔx0fx+Δx.gxgx+Δx.fxgx+Δx.gx.Δxt'x=limΔx0fx+Δx.gxgx+Δx.fx+fx.gxfx.gxgx+Δx.gx.Δxt'x=limΔx0fx+Δxfxgxgx+Δxgx.fxgx+Δx.gx.Δx

t'x=limΔx0fx+ΔxfxΔx.gxgx+ΔxgxΔx.fxgx+Δx.gxt'x=limΔx0fx+ΔxfxΔx.gxlimΔx0gx+ΔxgxΔx.fxlimΔx0gx+Δx.gxt'x=f'x.gxg'x.fxg2x


روش دوم:

با استفاده از تعریف مشتق، مشتق تابع فوق را در نقطه‌ دلخواه a از دامنه‌ آنها تعیین می‌کنیم: 

t'a=limxatxtaxat'a=limxafxgxfagaxat'a=limxa fx.gafagxgxgaxat'a=limxafxgafagxgx.gaxa

t'a=limxafx.gafagx+fxgxfxgxgxgaxa         t'a=limxafx.gafxgx+fa.gx+fxgxgxgaxat'a=limxafxgxga+gxfxfagxgaxa             

t'a=limxa gxfxfafxgxgaxagxga           t'a=limxagxfxfaxafxgxgaxagxga       t'a=limxagxfxfaxalimxafxgxgaxalimxagxga  

t'a=limxagx.limxafxfaxalimxafx.limxagxgaxagaga t'a=gaf'a.fa.g'ag2a                                             t'a=f'a.gag'a.fag2a                                             


روش سوم:

tx=fxgxfx=tx.gxf'x=tx.gx'f'x=t'x.gx+tx.g'xt'x.gx=f'xtx.g'xt'x=f'xtx.g'xgx    ;    tx=fxgxt'x=f'xfxgx.g'xgxt'x= f'x.gxfx.g'xgxgxt'x=f'x.gxg'x.fxg2x

تمرین

با استفاده از قانون فوق، مشتق توابع زیر را بدست می‌آوریم.

fx=x1x+1

f'x=x1'x+1x+1'x1x+12f'x=1x+11x1x+12f'x=x+1x+1x+12f'x=2x+12

fx=xx2+1

f'x=x'x2+1x2+1'xx2+12f'x=1x2+12xxx2+12f'x=x2+12x2x2+12f'x=1x2x2+12

fx=2x33x+5

f'x=2x3'3x+53x+5'2x33x+52f'x=23x+532x33x+52                    f'x=6x+106x+93x+52                            f'x=193x+52                                          

دریافت مثال

تذکر

مشتق توابع زیر را بخاطر بسپارید:

1x'=1x2ax+bcx+d'=adbccx+d21xn'=nxn+1

مشتق تابع رادیکالی

قضیه

if  fx=xf'x=12x    ;    x>0

اثبات

f'a=limxafxfaxaf'a=limxaxaxaf'a=limxaxaxa.x+ax+af'a=limxaxaxax+af'a=limxa1x+af'a=1a+af'a=12a

قضیه

  if  fx=ax+bf'x=a2ax+b    ;    ax+b>0

اثبات

f'x=limΔx0fx+ΔxfxΔx    ;    fx=ax+bf'x=limΔx0ax+Δx+bax+bΔxf'x=limΔx0ax+Δx+bax+bΔx×ax+Δx+b+ax+bax+Δx+b+ax+b

f'x=limΔx0ax+Δx+bax+bΔxax+Δx+b+ax+bf'x=limΔx0aΔxΔxax+Δx+b+ax+bf'x=aax+0+b+ax+bf'x=a2ax+b

قضیه

fx=x3f'x=13x23  ;   x>0

اثبات

f'x=limΔx0fx+ΔxfxΔx    ;    fx=x3f'x=limΔx0x+Δx3x3Δxf'x=limΔx0x+Δx3x3Δx×x+Δx23+x+Δxx3+x23x+Δx23+x+Δxx3+x23

f'x=limΔx0x+ΔxxΔxx+Δx23+x+Δxx3+x23f'x=1x+023+x+0x3+x23f'x=1x23+x23+x23f'x=13x23

نکته

در حالت کلی برای محاسبه مشتق توابع رادیکالی، از فرمول های زیر استفاده می‌کنیم:

u'=u'2uupm'=pu'mumpm

تمرین

با استفاده از قانون فوق، مشتق توابع زیر را بدست می‌آوریم.

fx=3x2

f'x=3x2'23x2    ;    u'=u'2uf'x=323x2

fx=x2+4

f'x=x2+4'2x2+4    ;    u'=u'2uf'x=2x2x2+4f'x=xx2+4

fx=4x2

f'x=4x2'24x2    ;    u'=u'2uf'x=2x24x2f'x=x4x2

دریافت مثال

تذکر

در تعیین مشتق توابع، ابتدا تابع را حتی‌الامکان ساده کرده و سپس مشتق می‌گیریم.

دریافت مثال

مشتق تابع توان‌دار

قضیه

tx=fnxt'x=nfn1x.f'x

اثبات

با استقراء ثابت می‌کنیم:

fn'=nfn1.f'

فر ض استقراء: 

n=1   :   f1'=1f11.f'=f'n=k   :   fk'=kfk1.f'

حکم  استقراء: 

n=k+1   :    fk+1'=k+1fk+11.f'=k+1fk.f'


fk+1'=fk.f'=fk'.f+fk.f'=kfk1.f'.f+fk.f'=f'kfk1.f+fk=f'kfk+fk=f'.k+1.fk=k+1fk.f'

تمرین

با استفاده از قانون فوق، مشتق توابع زیر را بدست می‌آوریم:

fx=2x+34

f'x=42x+341.2x+3'f'x=42x+332f'x=82x+33

fx=5x223

f'x=35x22315x22'f'x=35x22210xf'x=30x5x222

دریافت مثال

قضیه

اگر r عددی گویا و تابع yx=xr مشتق پذیرباشد، مشتق آن yx=rxr1 می‌باشد.

اثبات

فرض کنیم r عدد گویای مثبتی به‌صورت m,n  ,  mn باشد:  

r=mn  ,  n,m    ;    y=xry=xmny=x1nm

از طرفین تساوی فوق مشتق می‌گیریم: 

y'=x1nm'y'=mx1nm1.x1n'y'=mxm1n.1nx1n1y'=mxm1n.1nx1nny'=mnxm1n+1nny'=mnxmnny'=mnxmnnn    ;    r=mny'=rxr1

برای عدد گویای منفی r، عدد -r گویا و مثبت است:

y=xry=1xry'=1xr'y'=1'.xrxr'1xr2y'=0xrrxr1x2ry'=rxr1x2ry'=rxr1.x2ry'=r.xr1+2ry'=r.xr1

تمرین

با استفاده از قانون فوق، مشتق تابع زیر را بدست می‌آوریم:

fx=6x33x4

f'x=6x3'3x4'f'x=6x13'3x14'f'x=6×13x131x'3×14x141x'f'x=2x23134x341f'x=2x2334x34f'x=2x2334x34

مشتق تابع مثلثاتی

مشتق تابع سینوس

قضیه

if   fx=sinxf'x=cosx

اثبات

f'x=limΔx0fx+ΔxfxΔx   f'x=limΔx0sinx+ΔxsinxΔx=00f'x=limΔx02sinx+Δxx2.cosx+Δx+x2Δxf'x=limΔx02sinΔx2.cos2x+Δx2Δxf'x=limΔx0sinΔx2Δx2.cos2x+Δx2f'x=limΔx0cos2x+Δx2f'x=cosx

مشتق تابع کسینوس

قضیه

if   fx=cosxf'x=sinx

اثبات

f'x=limΔx0fx+ΔxfxΔxf'x=limh0cosx+ΔxcosxΔxf'x=limh02sinx+Δx+x2.sinx+Δxx2Δx

f'x=limh02sin2x+Δx2.sinΔx2Δxf'x=limh02sinx+Δx2.sinΔx2Δxf'x=limh0sinx+Δx2.sinΔx2 Δx2f'x=limh0sinx+Δx2.limh0sinΔx2 Δx2f'x=sinx+02.1f'x=sinx

مشتق تابع تانژانت

قضیه

if   fx=tanxf'x=1+tan2x

اثبات

tanx'=sinxcosx'tanx'=sinx'.cosxcosx'.sincosx2tanx'=cosx.cosxsinx.sinxcos2xtanx'=cos2x+sin2xcos2xtanx'=cos2xcos2x+sin2xcos2xtanx'=1+tan2x

مشتق تابع کتانژانت

قضیه

if   fx=cotxf'x=1+cot2x

اثبات

cotx'=cosxsinx'cotx'=cosx'.sinxsinx'.cosxsinx2cotx'=sinx.sinxcosx.cosxsin2xcotx'=sin2xcos2xsin2x=sin2xsin2xcos2xsin2xcotx'=1cot2xcotx'=1+cot2x

نکته

در حالت کلی برای محاسبه مشتق توابع مثلثاتی از فرمول های زیر استفاده می‌کنیم:

sinu'=u'cosusinmu'=mu'cosu.sinm1ucosu'=u'sinucosmu'=mu'sinu.cosm1utanu'=u'1+tan2utanmu'=mu'.1+tan2u.tanm1ucotu'=u'1+cot2ucotmu'=mu'.1+cot2u.cotm1u

تمرین

با استفاده از قوانین فوق، مشتق توابع زیر را به دست آورید:

y=sinxcosx

y'=sinx'cosx'y'=cosxsinxy'=cosx+sinx

y=1cosx+sinx

y'=1'cosx+sinxcosx+sinx'1cosx+sinx2y'=1'cosx+sinxcosx'+sinx'1cosx+sinx2y'=0cosx+sinxsinx+cosxcosx+sinx2y'=sinxcosxcosx+sinx2

y=tanx1+tanx

y'=tanx'1+tanx1+tanx'.tanx1+tanx2y'=1+tan2x1+tanx1'+tanx'.tanx1+tanx2y'=1+tan2x1+tanx0+1+tan2x.tanx1+tanx2y'=1+tan2x1+tanx1+tan2xtanx1+tanx2y'=1+tan2x1+tanxtanx1+tanx2y'=1+tan2x1+tanx2

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

قوانین مشتق گیری

20,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید