نقاطی که تابع در آن مشتق پذیر نیست (نقاط ناپیوسته)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 28 مرتبه

تعریف: اگر تابع y=fx در نقطه x=a پیوسته نباشد، تابع در آن نقطه مشتق پذیر نیست.

تمرین

تابع با ضابطه fx=x24x2 را در نظر بگیرید.

مشتق پذیری این تابع را در نقطه x=2 بررسی کنید.

با توجه به تعریف مشتق پذیری ابتدا بایستی شرط اول یعنی پیوستگی تابع را در نقطه  x=2 بررسی کنیم:


ابتدا مقدار تابع را بدست می‌آوریم:

f2=00


مقدار تابع در x=2 نامعین است یعنی اولین شرط پیوستگی برقرار نیست و تابع پیوستگی نیست در نتیجه تابع مشتق پذیر نمی‌باشد. 

نمودار تابع را رسم کنید و نقطه ناپیوسته را روی شکل نشان دهید.

fx=x24x2=x2x+2x2=x+2    ;    x2


نقاط ناپیوسته - پیمان گردلو

همان‌طور که از روی شکل مشاهده می‌کنید، تابع در نقطه x=2 ناپیوسته می‌باشد. 

تمرین

توابع fx=x و gx=x را در نظر بگیرید. 

نمودار توابع فوق را رسم کنید.

نقاط ناپیوسته - پیمان گردلو

مشتق پذیری این توابع را در نقطه x=0 بررسی کنید.

با توجه به تعریف مشتق پذیری ابتدا بایستی شرط اول یعنی پیوستگی توابع را در نقطه  x=0 بررسی کنیم:


این توابع در نقطه x=0 پیوستگی نیست در نتیجه تابع مشتق پذیر نمی‌باشد.(برای اطلاعات بیشتر مبحث پیوستگی مراجعه کنید.) 

تمرین

نمودار تابع با ضابطه زیر را در نظر می‌گیریم:

fx=x2    ;    x21         ;    x=2

نقاط ناپیوسته - پیمان گردلو 

به کمک نمودار تابع و تعریف مشتق به عنوان شیب خط مماس استدلال کنید که f'2 وجود ندارد.

نقاط ناپیوسته - پیمان گردلو


شیب خط های قاطع که از نقطه x=2 می‌گذرند، به عدد حقیقی و منحصر به فرد خاصی میل نمی‌کند.


اگر برای بررسی مشتق پذیری این تابع در x=2 صرف نظر از شرط پیوستگی و فقط با اتکا به تعریف مشتق f در آن نقطه را به کار گیریم:

limx2fxf2x2=limx2x21x2=30


مشتق راست و چپ را محاسبه می‌کنیم:

f'+2=limx2+x21x2=30+=+f'2=limx2x21x2=30=


بنابراین limx2fxf2x2 موجود و متناهی نیست پس f'2 وجود ندارد.  

مشتق پذیری تابع را در نقاط دیگر بررسی کنید.

مشتق پذیری تابع fx=x2 را در نقطه x=1 بررسی می‌کنیم:


شرط اول:

بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=1:


از روی نمودار مشخص است که تابع در این نقطه پیوسته است. 


شرط دوم: 

بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=1:

f'1=limx1fxf1x1=limx1x21x1=limx1x+1=2


تابع در نقطه x=1 مشتق پذیری است.


تابع fx=x2 در هر نقطه ای به غیر از x=2 مشتق پذیر است، زیرا تابع در تمام نقاط به غیر از x=2 پیوسته است.    

تمرین

نمودار تابع با ضابطه زیر را در نظر می‌گیریم:

gx=x2           ;    x1x+1       ;    x>1

نقاط ناپیوسته - پیمان گردلو

با توجه به نمودار فوق آیا g'1 موجود است؟ 

تابع g در نقطه x=1 پیوسته نیست لذا g'1 موجود نیست. 


در محاسبه مشتق تابع در این نقطه، شیب خط های قاطع که از نقطه x=1 می‌گذرند، به عدد حقیقی و منحصر به فرد خاصی میل نمی‌کند. 

با استفاده از تعریف مشتق نشان دهید g'1 موجود نیست.

g'1=limx1gxg1x1g'+1=limx1+gxg1x1=limx1+x+11x1=limx1+xx1=11+1=+g'1=limx1gxg1x1=limx1x21x1=limx1x+1=2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید