مشتق مرتبه بالاتر

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 41 مرتبه

مشتق مرتبهnام

تعریف: اگر y=fx مشتق‌ پذیر از مرتبه nام باشد، مشتقات متوالی آن را به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم:

y'=f'xy''=f''x                yn=fnx

مشتق متوالی بعضی از توابع دارای نظم به‌خصوصی است که چند نمونه از آن را معرفی می‌کنیم.

تذکر

تابع با ضابطه زیر مفروض است: 

fx=a0xn+a1xn1++an

مشتق مرتبه nام آن به‌صورت زیر معرفی می‌شود:  

fnx=a0n!

تمرین

مشتق مرتبه nام توابع زیر را به‌دست آورید.

y=1x

y'=1x2y''=2×1x3y'''=3×2×1x4y4=4×3×2×1x5                yn=1nn!xn+1

y=sinx

y'=cosx=sinx+π2y''=sinx=sinx+2π2y'''=cosx=sinx+3π2                                    yn=sinx+nπ2

تمرین

اگر y' و y'' به ترتيب مشتقات مرتبه اول و دوم تابع به معادله زیر باشند:

y=x+x21n

ثابت كنيد:

x21y''+xy'n2y=0

y=x+x21ny'=n1+xx21x+x21n1y'=nx21+xx21x+x21n1y'=nx+x21nx21y'x21=nx+x21ny'x21=ny

از طرفين تساوی فوق نسبت به x مشتق می‌گيريم:

y''x21+xx21y'=ny'y''x21+xy'=ny'x21    ;    if   y'x21=nyy''x21+xy'=n2yx21y''+xy'n2y=0

دریافت مثال

قاعده لایب‌نیتس

قضیه

فرض کنیم توابع fx و gx دارای مشتقات متوالی تا مرتبه nام باشند، در این صورت مشتق nام تابع fx.gx با رابطه زیر برقرار است: 

fxgxn=j=0nnjfnjxgjx

اثبات

فرمول فوق را با روش استقراء اثبات می‌نمائیم:

if   n=1fg'=10f'g+11fg'=f'g+fg'

فرض استقراء:

if  n=hfgh=j=0hhjfhjxgjx

حکم استقراء:

if  n=h+1fgh+1=j=0h+1h+1    jfh+1jxgjx

fgh+1=j=0hhjfhjgj'=j=0hhjfh+1jgj+j=0hhjfhjgj+1   

=h0fh+1g+j=1hhj+   hj1   fh+1j  gj+hh  fgh+1

=h+1    0fh+1g+j=1hhj+   hj1fh+1jgj+h+1h+1fgh+1

=h+1    0  fh+1g+j=1hh+1   jfh+1jgj+h+1h+1fgh+1=j=0h+1h+1   jfh+1jgj

در اثبات قضیه فوق به تساوی های زیر توجه کنید:

hh=h+1h+1=1h0=h+1    0=1hj+    hj1=h+1  j


قاعده لایب‌نیتس به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

uvn=unv0+n1un1v1++   nn1u1vn1+u0vn

تمرین

مشتق دهم تابع fx=x4sinx را پیدا کنید.

fxgxn=j=0nnjfnjxgjx


x4sinx10=100sinx10x4+10  1sinx9x4'+102sinx8x4''                               +103sinx7x4'''++1010sinxx410

کاربرد مشتقات متوالی در ریشه ‌های مکرر

در مباحث قبل با ریشه مضاعف آشنا شدیم.

معادله x32=0 دارای یک ریشه مضاعف x=3 است، در واقع x=3 دو بار تکرار شده است و طبق تعریف x=3 را ریشه مکرر مرتبه دوم این معادله می‌نامیم.

به همین ترتیب می‌توانیم ریشه ‌های مکرر مرتبه سوم و بالاتر داشته باشیم.

اصولا ریشه مکرر در چند جمله‌ ای ‌ها تعریف می‌شود، اما می‌توانیم به کمک مشتق، تعمیمی از آن برای توابع غیر چند جمله ‌ای داشته باشیم.

ابتدا ریشه ‌های مکرر را در توابع چند جمله ‌ای تعریف می‌کنیم:

تعریف: فرض کنیم fx یک چند جمله‌ای باشد به‌طوری‌که:

mN   :   fx=xamgx     ;   ga0

اگر m=1 باشد، آنگاه x=a ریشه ساده fx=0 می‌باشد.

اگر m2 باشد، آنگاه x=a ریشه مکرر و مرتبه mام fx می‌نامیم و در حالت m=2 را اصطلاحا ریشه مضاعف می‌نامیم.

چون f مشتق پذیر است با مشتق گیری از طرفین داریم:

f'x=mxam1gx+g'xxamf'x=xam1mgx+g'xxaf'x=xam1hx

چون ha0ga0 است، در نتیجه x=a ریشه مکرر مرتبه m-1ام معادله f'x=0 است و به همین ترتیب می‌توان این عمل را m-1 بار ادامه داد.

تمرین

در معادله زیر داریم:

fx=x22x13x4

x=4 ریشه ساده و x=2 ریشه مضاعف و x=1 ریشه مکرر و مرتبه سوم معادله fx=0 می‌باشند. 

نکته

با استفاده از مشتق می‌توان تعریف کلی‌تری از ریشه مکرر بیان کرد که در مورد غیر چند جمله‌ای ‌ها نیز کاربرد داشته باشند.

فرض کنیم تابع f در بازه I شامل a مشتق پذیر باشد: 

اگر fa=f'a=0 اما f''a0 یا f''a موجود نباشد، x=a را ریشه مکرر مرتبه دوم یا ریشه مضاعف fx=0 می‌نامیم.   

اگر fa=f'a=f''a=0 اما f3a0 یا f3a موجود نباشد، x=a را در ریشه مکرر مرتبه سوم fx=0 می‌نامیم.    

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مشتق مرتبه بالاتر

12,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید