نقاطی که تابع در آن مشتق پذیر نیست (نقاط عطف)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

تعریف: اگر تابع y=fx در نقطه x=a پیوسته باشد، اما مشتق چپ و راست در این نقطه، هر دو + یا هر دو - باشند، تابع در آن نقطه مشتق پذیر نیست و چنین نقطه ای را نقطه عطف منحنی گویند.

در این حالت گوئیم معادله مماس در نقطه a,fa بر نمودار تابع y=fx، خط x=a می‌باشد.

نکته

وقتی تابع در نقطه x=a پیوسته باشد و f'+a و f'-a دو بی نهایت متحدالعلامه باشند، وضعیت نمودار در همسایگی a به یکی از دو صورت زیر است:

نقطه عطف - پیمان گردلو

در شکل سمت چپ داریم:

f'+a=f'a=

در شکل سمت راست داریم:

f'+a=+f'a=+

توجه نمائید برای تعیین علامت  کافی است یک مماس به تابع بزنید، اگر خط مماس محور x ها را به زاویه حاده قطع کند، علامت  مثبت است و در غیر این صورت اگر زاویه منفرجه شود، علامت  منفی است.   

تمرین

مشتق پذیری توابع زیر را در نقاط داده شده، بررسی کنید:

fx=x    ;    x0x    ;    x<0    ,  x=0

1- بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=0:

f0=0limx0fx=?         L1=limx0+fx=limx0+x=0         L2=limx0fx=limx0x=0limx0fx=f0=0


چون حد راست، حد چپ و مقدار تابع با هم برابرند، پس تابع در x=0 پیوسته است.


2- بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=0:


محاسبه مشتق راست:

f'+0=limx0+fxf0x0=limx0+x0x=limx0+xx2=limx0+1x=+=


محاسبه مشتق چپ:

f'0=limx0fxf0x0=limx0x0x=limx0xx×xx=limx0xxx=limx01x=



نقطه عطف - پیمان گردلو


مشتق راست و چپ دو بی نهایت متحدالعلامه است و x=0 طول نقطه عطف است. 

fx=x13    ;    x=1

1- بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=1:

f1=limx1fx=0


تابع در x=1 پیوسته است.


2- بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=1:

f'1=limx1fxf1x1f'1=limx1x130x1f'1=limx1x1x133f'1=limx11x123


محاسبه مشتق راست:

f'+1=limx1+1x123=


محاسبه مشتق چپ:

f'1=limx11x123=


نقطه عطف - پیمان گردلو


مشتق راست و چپ دو بی نهایت متحدالعلامه است و x=1 طول نقطه عطف است. 

fx=sinπx3    ;    x=nz

1- بررسی پیوستگی تابع در نقطه x=n:

fn=limxnfx=0


تابع در x=n پیوسته است.


2- بررسی مشتق پذیری تابع در نقطه x=n:

f'n=limxnfxfnxnf'n=limxnsinπx30xn        f'n=limxnsinπx3xn     ;    if   xnt0if   xn=tx=n+tf'n=limt0sinπn+t3t


sinπn+t=sinπn+πtα=   sinα      ;    n=2k sinα    ;    n=2k+1 sinπn+t=sinπt        ;    n=2ksinπt    ;    n=2k+1


if   n=2klimt0sinπn+t3t=limt0sinπt3t=limt0sinπtt33=limt0πtt33                                       =limt0πt23=π03=+


if   n=2k+1limt0sinπn+t3t=limt0sinπt3t=limt0sinπtt33=limt0πtt33                                     =limt0πt23=π03=


در نقاط صحیح زوج، مشتق نامتناهی + است. 


در نقاط صحیح فرد، مشتق نامتناهی - است.


چون تابع پیوسته هست پس در تمام نقاط صحیح، دارای مماس قائم است. 


نقطه عطف - پیمان گردلو

fx=x3x3    ;    x=1  ,  x=1  ,  x=0

1- بررسی پیوستگی تابع در نقاط x=1  ,  x=1  ,  x=0:

f0=limx0fx=0f1=limx1fx=0f1=limx1fx=0


تابع در هر سه نقطه پیوسته است.


2- بررسی مشتق پذیری تابع در نقاط x=1  ,  x=1  ,  x=0:


f'0=limx0fxf0x0=limx0x3x30x=limx0x3xx33=limx0xx21x33              =limx0x21x23=1023=


f'1=limx1fxf1x1=limx1x3x30x1=limx1x3xx133=limx1xx21x133                =limx1xx1x+1x133=limx1xx+1x123=+


f'1=limx1fxf1x+1=limx1x3x30x+1=limx1xx21x+133                =limx1xx1x+1x+133=limx1xx1x+123=2023=+


چون تابع در هر سه نقطه فوق پیوسته است، پس خطوط x=1  ,  x=1  ,  x=0 معادلات مماس در این سه نقطه است و تابع در این سه نقطه مشتق نامتناهی دارد. 


نقطه عطف - پیمان گردلو 

نکته

در توابع اصم با فرجه فرد، ریشه های ساده زیر رادیکال، طول نقاط عطف منحنی است ولی تابع در این نقطه یا نقاط مشتق پذیر نیست.

در نقاطی که تابع پیوسته و مشتق نامتناهی دارد، نمودار تابع معمولا نقطه عطف دارد و گاهی با استفاده از این خاصیت و خواص دیگر تابع می‌توان نمودار آن را رسم کرد.

تمرین

مشتق تابع با ضابطه fx=x3x25 را در x=1 بررسی کنید.(تابع در این نقطه پیوسته است.) 

نقطه x=1 ریشه ساده زیر رادیکال با فرجه فرد است پس A1,0 نقطه عطف تابع است.

f'0=limx0x3x250x0=limx0x2x15x             =limx0x2x1x55=limx0x1x3 5 ;  f'+0=f'0=+

برای ارسال نظر وارد سایت شوید