خارج قسمت تفاضلی و مشتق متقارن

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

مشتق و خارج قسمت تفاضلی

چون مشتق اصولا حد یک خارج قسمت تفاضلی است، لذا بعضی از حدها را می‌توان به فرمی از تعریف مشتق تبدیل کرد، سپس آن حد برابر مشتق تابعی در یک نقطه خواهد بود و در نتیجه حد به سادگی محاسبه می‌شود.

یادآوری می‌کنیم که در تعریف مشتق داشتیم:

limΔx0fx+ΔxfxΔx

ممکن است Δx ضرایب مختلفی داشته باشد، در این صورت حد، مضربی از مشتق تابع در x است.

limΔx0fx+mΔxfxkΔx=limΔx0mkfx+mΔxfxmΔx=mkf'x

تمرین

حدهای زیر را با توجه به توابع داده شده به‌دست آورید.

fx=sin2xlimxπ4  fxfπ4xπ4=?

limxπ4  fxfπ4xπ4=f'π4if  fx=sin2xf'x=2sinxcosx      ;    if  x=π4f'π4=2sinπ4cosπ4f'π4=22222f'π4=1

if   fx=cosπ2x     ;    x<1x21       ;   x1   lim  h0f1+hf1h=?

limh0  f1+hf1h=f'1

چون f در نقطه x=1 پيوسته است، از قضيه حد تابع مشتق استفاده می‌كنيم:

fx=cosπ2x     ;    x<1x21       ;   x1f'x=π2sinπ2x     ;    x<12x                       ;    x>1f'1=limx1f'x=limx1π2sinπ2x=π2

دریافت مثال

مشتق متقارن  

قضیه

M=limh0fa+hfah2h=f'a

اثبات

روش اول:

تابع y=fx مفروض است، فرض کنیم نقاط زیر، دو نقطه روی نمودار تابع باشند: 

Aah,fahBa+h,fa+h

اگر m شیب خط AB باشد، آنگاه: 


خارج قسمت تفاضلی و مشتق متقارن - پیمان گردلو

mAB=fa+hfaha+hah=fa+hfah2h


فرض کنیم تابع f در نقطه a مشتق پذیر باشد، مشاهده می‌کنیم که اگر h0 میل کند، آنگاه شیب خط AB به شیب مماس در نقطه a میل می کند، یعنی حد ضریب زاویه AB برابر با ضریب زاویه مماس در a یا برابر مشتق تابع در نقطه a می‌باشد، بنابراین داریم:  

M=limh0fa+hfah2h=f'a


روش دوم:

M=limh0fa+hfah2hM=limh0fa+hfahfa+fa2hM=limh0fa+hfafah+fa2hM=12limh0fa+hfah+12limh0fahfahM=12f'a+12f'aM=f'a


روش سوم:

ah=Xah+2h=X+2ha+h=X+2h


M=limh0fa+hfah2hM=limh0fX+2hfXhM=2limh0fX+2hfX2hM=2f'XM=2f'ah    ;    if  h0=2f'a

نکته

عکس مشتق متقارن همواره صحیح نیست.

در تابع با ضابطه fx=x تابع در x=0 مشتق ندارد اما حد فوق موجود است.

limh0f0+hf0h2h=limh0hh2h=0


خارج قسمت تفاضلی و مشتق متقارن - پیمان گردلو

از نظر هندسی مشاهده می‌شود که شیب خط  برابر صفر است و اگر h0 آنگاه این خط با همان شیب صفر باقی می‌ماند در حالی که خط مماس بر نمودار تابع در x=0 وجود ندارد. 

دریافت مثال

قضیه

اگر تابع y=fx در نقطه x=a مشتق پذیر باشد، آنگاه:

limh0fa+mhfanhkh=m+nkf'a    ;    k0

اثبات

limh0fa+mhfanhkh=limh0fa+mhfanh+fafakh=limh0fa+mhfakhlimh0fanhfakh=limh0mm.fa+mhfakhlimnn.h0fanhfakh

=limh0mkfa+mhfamh+limh0nkfanhfanh=mk.limh0fa+mhfamh+nk.limh0fanhfanh=mkf'a+nkf'a=m+nkf'a


در حالتی که m=n باشد، مثل مشتق متقارن عمل می‌کنیم.

تمرین

حد زیر را با توجه به تابع داده شده به‌دست آورید.

if  fx=cos2x3limh0fx+5hfx3hh=?

m=5   ,   n=3     ,   k=1limh0fx+5hfx3hh=5+31f'x=8f'x    ;    Ι=8×2sinx3cosx3Ι    :   if  fx=cos2x3f'x=2sinx3cosx3

دریافت مثال

نکته

مسئله، برقراری عکس قضیه زیر می‌باشد. 

limh0fx+mhfanhkh

ثابت کردیم که اگر f در a مشتق پذیر باشد:

آن‌گاه limh0fx+mhfanhkh موجود و برابر m+nkf'a است.  

 اگر f در a مشتق پذیر نباشد، آیا می‌توان نتیجه گرفت حد فوق هم موجود نمی‌باشد؟

می‌خواهیم بگوئیم اگر در حالتی که m=n یعنی داشته باشیم:

limh0fa+hfahkh

این حد ممکن است موجود باشد (مشتق متقارن) باید بررسی شود.

اما در حالتی‌که mn و تابع در x=a مشتق پذیر نباشد، حد فوق هم در a موجود نمی‌باشد.


به طور کلی:

فرض کنیم تابع f در یک همسایگی a تعریف شده و در a پیوسته باشد. اگر m±n، آنگاه شرط لازم و کافی برای آنکه تابع  f در a مشتق پذیر باشد آن است که حد زیر موجود باشد:  

limh0fx+mhfanhkh

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

خارج قسمت تفاضلی و مشتق متقارن

7,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید