مماس افقی و قائم

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 34 مرتبه

تعریف مماس قائم

نمودار تابع y=fx در نقطه x=a دارای مماس قائم است، هرگاه در x=a پیوسته بوده و f'a=+ در این‌صورت معادله این مماس x=a است.

این مطلب در نقاط عطف به طور کامل مورد بررسی قرار گرفته است.

مماس افقی و قائم - پبمان گردلو

در شکل سمت چپ داریم:

f'+a=f'a=

در شکل سمت راست داریم:

f'+a=+f'a=+

توجه نمائید برای تعیین علامت  کافی است یک مماس به تابع بزنید، اگر خط مماس محور x ها را به زاویه حاده قطع کند علامت  مثبت است در غیر این صورت اگر زاویه منفرجه شود علامت  منفی است. 

تعریف مماس افقی

نمودار تابع y=fx در نقطه x=a دارای مماس افقی است، هرگاه در x=a پیوسته بوده و f'a=0 در این‌صورت y=a معادله مماس افقی است.

مماس افقی و قائم - پبمان گردلو  

تمرین

نشان دهيد تابع fx=x3 در مبدا دارای مماس قائم است.

f'0=limx0fxf0x0f'0=limx0x3xf'0=limx0x3x.x23x23f'0=limx01x23f'0=+


بنابراين خط x=0 در مبدا بر نمودار fx=x3 مماس است.

مماس افقی و قائم - پبمان گردلو  

تمرین

زاويه بين خط‌های مماس چپ و راست در تابع با ضابطه fx=1xx1x در نقطه x=1 چقدر است؟

مشتق راست:

f'+1=limx1+fxf1x1=limx1+1xx1x0x1=limx1+1xx=limx1+111=1


مشتق چپ:

f'1=limx1fxf1x1=limx11xx1x0x1=limx11xx=limx1101=11=1



tanα=f'+1f'11+f'+1.f'1tanα=111+11tanα=20tanα=+α=π2


برای علاقه‌مندان، نمودار تابع فوق در زیر رسم شده است:


مماس افقی و قائم - پبمان گردلو

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است:

fx=1    ;   x<00        ;  x=01          ;x>0

نشان دهيد f'0=+ و f'+0=+

f'+0=limx0+fxf0x0=limx0+100+=+f'0=limx0fxf0x0=limx0100=+

نشان دهيد تابع در x=0 مماس ندارد.

چون f در x=0 پيوسته نيست پس در اين نقطه خط مماس وجود ندارد.


توجه شود که شرط پيوستگی در نقطه a برای وجود مماس قائم ضروری است.

تمرین

وضعيت مماس بر تابع با ضابطه fx=x2x در x=1 چگونه است؟

f'+1=limx1+fxf1x1=limx1+x2x1x1=limx1+x21x1=00=Hlimx1+2x1=2


f'1=limx1fxf1x1=limx1x2x1x1=limx11x1=111=10=+


بر تابع fx=x2x يک مماس راست در نقطه x=1  وجود دارد و شيب آن 2 است.


چون f در x=1 پيوستگی چپ ندارد، مماس چپ عمودی نداريم.     

برای ارسال نظر وارد سایت شوید