لیست

مشتق تابع لگاریتمی و نمایی

آخرین ویرایش: 06 دی 1400
دسته‌بندی: مشتق در ریاضی
امتیاز:

مشتق تابع لگاریتمیfx=lnx

قضیه

if  fx=lnxf'x=1x    ;    x>0

اثبات

f'x=limΔx0fx+ΔxfxΔxf'x=limΔx0lnx+ΔxlnxΔxf'x=limΔx0lnx+ΔxxΔxf'x=limΔx01Δxlnx+Δxx

f'x=limΔx01Δxln1+Δxxf'x=limΔx0ln1+Δxx1Δx    ;    Δxx=1ttx=1Δxif   Δx0txtf'x=limtln1+1ttxf'x=limtln1+1tt1x


f'x=lnlimt1+1tt1xf'x=lne1xf'x=1xlne    ;    lne=1f'x=1x     ;    x>0

مشتق تابع لگاریتمیfx=logax

قضیه

fx=logaxf'x=1xlogae    ;    x>0

اثبات

fx=logaxfx=logexlogeafx=1logea.logexfx=logae.  lnxf'x=logae.lnx'f'x=1xlogae

مشتق تابع نماییfx=ex

قضیه

fx=exf'x=ex   ;    x>0

اثبات

چون دو تابع fx=lnxf1x=ex معکوس یکدیگرند، بنابر خاصیت معکوس پذیری داریم:  

f1x'=1f'f1xex'=1 1exex'=exf'x=ex

مشتق تابع نماییfx=ax

قضیه

fx=axf'x=ax.logea

اثبات

y=axlogay=xlogay'=x'y'y.logae=1y'=y.1logaey'=ax.logeay'=ax.lna

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم: 

if  y=lnuy'=u'uif   y=logauy'=u'u.logaeif   y=euy'=u'.euif   y=auy'=u'.au.lna

تمرین

مشتق توابع زیر را محاسبه کنید.

R(w)=4w5log9w

fx=axf'x=ax.logea=ax.lnafx=logaxf'x=1xlogae=1xlogea=1xlna    ;    x>0


R'(w)=4wln45wln9

f(x)=3ex+10x3lnx

f'(x)=3ex+30x2lnx+10x3(1x)


f'(x)=3ex+30x2lnx+10x2

y=5ex3ex+1

y'=5ex(3ex+1)(5ex)(3ex)(3ex+1)2


y'=15e2x+5ex15e2x(3ex+1)2

y'=5ex(3ex+1)2

g(t)=4log3(t)ln(t)

g'(t)=4tln(3)1t

R(w)=3wlog(w)

R'(w)=3wln(3)log(w)+3wwln(10)

y=z5ezln(z)

y'=5z4ezln(z)ezz

h(y)=y1ey

h'(y)=(1)(1ey)y(ey)(1ey)2=1ey+yey(1ey)2

f(t)=1+5tln(t)

f(t)=1+5tln(t)=5ln(t)(1+5t)(1t)[ln(t)]2=5ln(t)1t5[ln(t)]2

نکته

با استفاده از لگاریتم می‌توان مشتق برخی توابع پیچیده را ساده‌تر محاسبه کرد. 

تمرین

مشتق توابع زیر را محاسبه کنید.

y=x5(110x)x2+2

lny=ln(x5(110x)x2+2)

lny=ln(x5)ln((110x)x2+2)

lny=ln(x5)ln(110x)ln(x2+2)


از طرفین تساوی فوق، نسبت به متغیر x مشتق می‌گیریم:

y'y=5x4x510110x12(x2+2)12(2x)(x2+2)12


y'y=5x+10110xxx2+2


y'=y(5x+10110xxx2+2)


y'=x5(110x)x2+2(5x+10110xxx2+2)

y=(13x)cos(x)

lny=ln[(13x)cos(x)]


lny=cos(x)ln(13x)


از طرفین تساوی فوق، نسبت به متغیر x مشتق می‌گیریم:

y'y=sin(x)ln(13x)+cos(x)313x


y'y=sin(x)ln(13x)cos(x)313x


y'=y(sin(x)ln(13x)+cos(x)313x)


y'=(13x)cos(x)(sin(x)ln(13x)+cos(x)313x)

f(x)=(53x2)76x2+8x12

ln[f(x)]=ln[(53x2)76x2+8x12]


ln[f(x)]=ln[(53x2)7]+ln[(6x2+8x12)12]


ln[f(x)]=7ln(53x2)+12ln(6x2+8x12)


از طرفین تساوی فوق، نسبت به متغیر x مشتق می‌گیریم:

f'(x)f(x)=76x53x2+1212x+86x2+8x12


f'(x)f(x)=42x53x2+6x+46x2+8x12


f'(x)=f(x)[42x53x2+6x+46x2+8x12]


f'(x)=(53x2)76x2+8x12[42x53x2+6x+46x2+8x12]

y=sin(3z+z2)(6z4)3

ln(y)=ln[sin(3z+z2)(6z4)3]


ln(y)=ln[sin(3z+z2)]ln[(6z4)3]


ln(y)=ln[sin(3z+z2)]3ln[6z4]


از طرفین تساوی فوق، نسبت به متغیر z مشتق می‌گیریم:

y'y=(3+2z)cos(3z+z2)sin(3z+z2)3[4z36z4]


y'y=(3+2z)cot(3z+z2)+12z36z4


y'=y[(3+2z)cot(3z+z2)+12z36z4]


y'=sin(3z+z2)(6z4)3[(3+2z)cot(3z+z2)+12z36z4]

h(t)=5t+819cos(4t)3t2+10t4

ln[h(t)]=ln[5t+819cos(4t)3t2+10t4]


ln[h(t)]=ln[5t+819cos(4t)3]ln[t2+10t4]


ln[h(t)]=ln[(5t+8)12]+ln[(19cos(4t))13]ln[(t2+10t)14]


ln[h(t)]=12ln(5t+8)+13ln(19cos(4t))14ln(t2+10t)


از طرفین تساوی فوق، نسبت به متغیر t مشتق می‌گیریم:

h'(t)h(t)=1255t+8+1336sin(4t)19cos(4t)142t+10t2+10t


h'(t)=h(t)[525t+8+12sin(4t)19cos(4t)12t+52t2+10t]


h'(t)=5t+819cos(4t)3t2+10t4[525t+8+12sin(4t)19cos(4t)12t+52t2+10t]

g(w)=(3w7)4w

ln[g(w)]=ln[(3w7)4w]


ln[g(w)]=4wln(3w7)


از طرفین تساوی فوق، نسبت به متغیر w مشتق می‌گیریم:

g'(w)g(w)=4ln(3w7)+4w33w7


g'(w)g(w)=4ln(3w7)+12w3w7


g'(w)=g(w)[4ln(3w7)+12w3w7]


g'(w)=(3w7)4w[4ln(3w7)+12w3w7]

f(x)=(2xe8x)sin(2x)

ln[f(x)]=ln[(2xe8x)sin(2x)]


ln[f(x)]=sin(2x)ln(2xe8x)


از طرفین تساوی فوق، نسبت به متغیر x مشتق می‌گیریم:

f'(x)f(x)=2cos(2x)ln(2xe8x)+sin(2x)28e8x2xe8x


f'(x)f(x)=2cos(2x)ln(2xe8x)+sin(2x)28e8x2xe8x


f'(x)=f(x)[2cos(2x)ln(2xe8x)+sin(2x)28e8x2xe8x]


f'(x)=(2xe8x)sin(2x)[2cos(2x)ln(2xe8x)+sin(2x)28e8x2xe8x]

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

مشتق تابع لگاریتمی و نمایی

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید