مشتق تابع لگاریتمی و نمایی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 27 مرتبه

مشتق تابع لگاریتمیfx=lnx

قضیه

if  fx=lnxf'x=1x    ;    x>0

اثبات

f'x=limΔx0fx+ΔxfxΔxf'x=limΔx0lnx+ΔxlnxΔxf'x=limΔx0lnx+ΔxxΔxf'x=limΔx01Δxlnx+Δxx

f'x=limΔx01Δxln1+Δxxf'x=limΔx0ln1+Δxx1Δx    ;    Δxx=1ttx=1Δxif   Δx0txtf'x=limtln1+1ttxf'x=limtln1+1tt1x


f'x=lnlimt1+1tt1xf'x=lne1xf'x=1xlne    ;    lne=1f'x=1x     ;    x>0

مشتق تابع لگاریتمیfx=logax

قضیه

fx=logaxf'x=1xlogae    ;    x>0

اثبات

fx=logaxfx=logexlogeafx=1logea.logexfx=logae.  lnxf'x=logae.lnx'f'x=1xlogae

مشتق تابع نماییfx=ex

قضیه

fx=exf'x=ex   ;    x>0

اثبات

چون دو تابع fx=lnxf1x=ex معکوس یکدیگرند، بنابر خاصیت معکوس پذیری داریم:  

f1x'=1f'f1xex'=1 1exex'=exf'x=ex

مشتق تابع نماییfx=ax

قضیه

fx=axf'x=ax.logea

اثبات

y=axlogay=xlogay'=x'y'y.logae=1y'=y.1logaey'=ax.logeay'=ax.lna

یادآوری

به‌طور خلاصه داریم: 

if  y=lnuy'=u'uif   y=logauy'=u'u.logaeif   y=euy'=u'.euif   y=auy'=u'.au.lna

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مشتق تابع لگاریتمی و نمایی

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید