نقاطی که تابع در آن مشتق پذیر نیست (نقاط بازگشت)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 33 مرتبه

تعریف: اگر تابع y=fx در نقطه x=a پیوسته باشد، اما مشتق راست و چپ در این نقطه دو بی نهایت مختلف‌العلامه باشند، تابع در آن نقطه مشتق پذیر نیست و چنین نقطه ای را نقطه بازگشت منحنی گویند.

در این حالت دو نیم مماس راست و چپ منطبق و موازی محور y ها می‌باشند.

نکته

وقتی تابع در x=a پیوسته و f'+a و f'-a دو بی نهایت مختلف‌العلامه باشند، وضعیت نمودار در همسایگی a به یکی از دو صورت زیر است:

نقاط بازگشت - پیمان گردلو

در شکل سمت چپ داریم:

f'+a=+f'a=

در شکل سمت راست داریم:

f'+a=f'a=+

توجه نمائید برای تعیین علامت  کافی است یک مماس به تابع بزنید، اگر خط مماس محور x ها را به زاویه حاده قطع کند علامت  مثبت است در غیر این صورت اگر زاویه منفرجه شود، علامت  منفی است.  


در نقاط بازگشت، نمودار تابع ماکزیمم و مینیمم دارد.

تمرین

مشتق پذیری تابع زیر را در نقطه داده شده، بررسی کنید:

fx=x    ;    x=0

fx=xfx=x       ;    x0x    ;    x<0


1-
 بررسی پیوستگی در نقطه x=0:

f0=0limx0fx=?              L1=limx0+fx=limx0+x=0             L2=limx0fx=limx0x=0limx0fxf0=0

تابع در x=0 پیوسته است.


2- بررسی مشتق پذیری در نقطه x=0:


محاسبه مشتق راست:

f'+0=limx0+fxf0x0=limx0+x0x               =limx0+xx2=limx0+1x=+


محاسبه مشتق چپ:

f'0=limx0fxf0x0=limx0x0x=limx0xx×xx              =limx0xxx=limx01x=limx010=


نقاط بازگشت - پیمان گردلو

تذکر

در توابع اصم با فرجه فرد، ریشه های مضاعف زیر رادیکال، طول نقطه بازگشت منحنی است ولی تابع در این نقاط مشتق پذیر نیست.

تمرین

مشتق تابع با ضابطه زیر را بررسی کنید. 

fx=x3x25    ;    x=0

fx=x2x15


x=0 ریشه مضاعف است پس A0,0 نقطه بازگشت تابع است:

f'1=limx1x3x250x1=limx0x2x15x1=limx0x2x1x155            =limx1x2x145=+

تذکر

در تابع با ضابطه fx=xamn با شرط مفروض n,mN  ,  n>m

اگر  n فرد و m زوج باشد، آنگاه نقطه a,fa نقطه بازگشت است.

تمرین

مشتق تابع با ضابطه زیر را بررسی کنید.

fx=x123    ;     x=1

1- بررسی پیوستگی در نقطه x=1:

f1=limx1fx=0


تابع در x=1 پیوسته است.


2- بررسی مشتق پذیری در نقطه x=1:

f'1=limx1fxf1x1  =limx1x1230x1            =limx1x12x133=limx11x13


محاسبه مشتق راست:

f'+1=limx1+1x13=limx1+11+13=limx1+10+3=+


محاسبه مشتق چپ:

f'1=limx11x13=limx11113=limx1103=


نقاط بازگشت - پیمان گردلو

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نقاطی که تابع در آن مشتق پذیر نیست (نقاط بازگشت)

500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید