بررسی بعضی از قضایای مشتق

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مشتق
امتیاز:
بازدید: 36 مرتبه

مقدمه: در مباحث قبل، مشتق پذیری توابع زیر را بررسی کردیم:

f,fog,fg,f×g,f±g

مشاهده کردیم که اگر f و g توابعی مشتق پذیر باشند، fg,f×g,f±g نیز مشتق پذیر هستند.

در این قسمت به بررسی این نکته می‌پردازیم که f و g هر دو یا یکی در نقطه‌ ای مشتق پذیر نباشند، هر یک از توابع فوق چگونه‌اند؟

قضیه

اگر از توابع f و g یکی در x=a مشتق پذیر و مشتق متناهی داشته باشد و دیگری مشتق پذیر نباشد، آنگاه f±g در x=a مشتق پذیر نمی‌باشد. 

اثبات

اگر f در x=a مشتق پذیر باشد و g در x=a مشتق پذیر نباشد، اما f+g مشتق پذیر باشد، آنگاه با فرض:   

hx=fx+gxgx=hxfx

gx در x=a مشتق پذیر است که این خلاف فرض است.

تمرین

تابع زير در چه نقاطی مشتق پذير نمی‌باشد.

fx=x+x1+x2++x100

تابع در 101 از ریشه های ساده قدر مطلق فوق مشتق ندارد:

x=0,1,,100


دليل آن است كه در هر نقطه x=k که 0k100 يكی از تابع های y=xk مشتق ندارد اما بقيه دارای مشتق می‌باشند كه بنا به قضيه مجموع و تفاضل تابع مشتق ندارد.

دریافت مثال

نکته

1- اگر از توابع f و g یکی در x=a مشتق پذیر باشد و دیگری مشتق پذیر نباشد، آنگاه fg,f×g ممکن است مشتق داشته باشد یا نداشته باشد. 

2- اگر توابع f و g هر دو در x=a مشتق پذیر نباشند، fg,f×g,f±g ممکن است مشتق پذیر باشند یا نباشند باید تحقیق کنیم.  

دریافت مثال

نکته

مشتق پذیری تابع مرکب hx=fgx 

تابع مرکب hx=fgx مفروض است، در قضیه مشتق تابع مرکب نشان دادیم که اگر g در x=a و f در ga مشتق پذیر باشند، آنگاه fog در x=a مشتق پذیر است.  

اگر g در x=a و f در ga مشتق پذیر نباشند یا یکی مشتق پذیر و دیگری مشتق پذیر نباشد، تابع fog ممکن است مشتق پذیر باشد یا نباشد بایستی تحقیق شود.

تمرین

مشتق پذيری تابع زير را بررسی كنيد.

hx=cosπxx

hx=fgxgx=xxfx=cosπx


gx=xx در تمام نقاط x=k   ,kz ناپيوسته است لذا مشتق ندارد.


fx=cosπx در x=k   ,kz پيوسته و مشتق پذير است.


اما همان‌طوركه مشاهده می‌كنيم تابع hx در نقاط صحيح x=k ناپيوسته است لذا مشتق ندارد.

hk=limhx=1xk+limhx=1xk


مشتق تابع مرکب - پیمان گردلو

دریافت مثال

قضیه

مشتق پذیری تابع hx=fx.gx 

فرض کنیم تابع g در نقطه a پیوسته باشد.(g ممکن است در a مشتق پذیر باشد یا نباشد.)

 هم‌چنین تابع f در نقطه a مشتق پذیر با مشتق متناهی است و fa=0 در این صورت تابع با ضابطه hx=fx.gx در x=a مشتق پذیر است و داریم: 

h'a=f'a.ga

اثبات

h'a=limxahxhaxa    :   Ιh'a=limxafx.gx0xah'a=limxafxxa.gxh'a=limxafxfaxa.gx    ;    fa=0h'a=limxafxfaxa.limxagxh'a=f'a.ga

Ι    :    hx=fx.gxx=aha=fa.ga                                                       fa=0ha=0×gaha=0


f در a مشتق پذیر است پس حد limxafxfaxa وجود دارد و مقدارش f'a می‌باشد. 

g در a پیوسته است پس حد limxagx وجود دارد و مقدارش ga می‌باشد.   

قضیه

اگر تابع g در x=a پیوسته و fx=xagx باشد، آنگاه تابع f در x=a مشتق پذیر است و f'a=ga.   

اثبات

f'a=limxafxfaxa=limxaxagx0xa=limxagx=ga

دریافت مثال

قضیه

فرض کنیم تابع g در یک همسایگی a تعریف شده و کراندار است، در این صورت تابع با ضابطه fx=xa2gx در x=a مشتق پذیر است و f'a=0 می‌باشد. 

در این قضیه نه تنها g ممکن است در a مشتق پذیر نباشد، بلکه می‌تواند در a ناپیوسته نیز باشد.   

اثبات

f'a=limxafxfaxa=limxaxa2gx0xa=limxaxagx=0

دریافت مثال

قضیه

قضیه فشردگی در مشتق

فرض کنیم سه تابع h,g,f به ازای هر x از یک همسایگی a تعریف شده و gxfxhx باشد و ga=fa=ha اگر g و h در a مشتق پذیر و h'a=g'a آنگاه تابع f در x=a مشتق پذیر است و داریم: 

f'a=g'a=h'a

اثبات

ifgxfxhxgxgafxfahxha    ;    ha=ga=fa

اگر xa باشد، طرفین را بر x-a تقسیم می‌کنیم:

gxgaxafxfaxahxhaxalimxagxgaxalimxafxfaxalimxahxhaxag'alimxafxfaxah'a    ;    if   g'a=h'alimxafxfaxa=g'a=h'af'a=g'a=h'a

تمرین

تابع f به ازای هر x از همسایگی a تعریف شده و به ازای هر x نامساوی fxxa2 برقرار می‌باشد، ثابت می‌کنیم f در a مشتق پذیر است.   

تابع f به ازای هر x از همسایگی a تعریف شده است:

if   x=a     :      fa0fa=0


fxxa2xa2fxxa2    ;    gx=xa2hx=xa2gxfxhxgafaha    ;    ga=ha=00fa0fa=0


if   gx=xa2g'a=0if   hx=+xa2h'a=0  h'a=g'a


پس بنا به قضیه بیان شده اگر fa=ga=hah'a=g'a باشد، آنگاه f در a مشتق پذیر است و f'a=g'a=h'a=0 است.

مثال‌ها و جواب‌ها

بررسی بعضی از قضایای مشتق

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید