خارج‌ قسمت تقسیم چند جمله‌ ای بر دو جمله‌ ای

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای
امتیاز:
بازدید: 37 مرتبه

برای تعیین خارج‌قسمت تقسیم چند جمله‌ای px بر دو جمله‌ای x-a از روش‌های زیر استفاده می‌کنیم:

روش جدول هورنر

این روش را با حل یک تمرین، شرح می‌دهیم:

تمرین

می‌خواهیم خارج‌قسمت و باقیمانده چند جمله‌ای px=2x34x2+3x5 را بر x-1 به‌روش جدول هونر به‌دست آوریم.

px=2x34x2+3x5x1=0x=1


بخش پذیری در چند جمله ای - پیمان گردلو


در ردیف بالا ضرایب مقسوم را می‌نویسیم، اولین ضریب یعنی 2 را مستقیما پایین می‌آوریم و آن را در 1 ضرب کرده، با عدد بالا جمع و این عمل را تکرار می‌کنیم.


در ردیف پایین، سه عدد اول یعنی 2,2,1 ضرایب خارج قسمت و عدد آخر یعنی -4 باقیمانده است، چون درجه مقسوم n=3 و درجه مقسوم‌علیه m=1 است، پس درجه خارج‌قسمت n-m=2 است یعنی q یک عبارت درجه دوم است.

qx=2x22x+1R=4

تمرین

خارج قسمت Px=x4+2x3+x9 را بر x+2 به‌دست آوريد.

x+2=0x=2

جدول هورنر - پیمان گردلو

R=11qx=x3+0x2+0x+1qx=x3+1

خارج قسمت و باقيمانده تقسيم Px=x53x3+2x+1 را بر x-2 به‌دست آوريد. 

x2=0x=2

جدول هورنر - پیمان گردلو

R=13qx=x4+2x3+x2+2x+6

خارج قسمت تقسيم Px=x4+x33x2+2x1 را بر x-2 به‌دست آوريد. 

x2=0x=2

جدول هورنر - پیمان گردلو

Qx=x3+3x2+3x+8

روش ضرایب نامعین

چند جمله‌ای زیر را در نظر بگیرید:

px=a0xn+a1xn1++an

با توجه مقسوم‌علیه x-a که از درجه یک است، خارج قسمت این تقسیم از درجه n-1 و به صورت زیر است:

gx=b0xn1+b1xn2++bn1

می‌خواهیم روشی را ارائه دهیم که بدون عمل تقسیم، بتوانیم ضرایب نا‌معین b0  ,  b1  ,    ,  bn1 را پیدا کنیم، در نتیجه توانسته‌ایم خارج قسمت تقسیم را مشخص کنیم.

همان‌طور که از قضیه تقسیم نتیجه می‌شود، باید داشته باشیم:

px=xa  gx+Ra0xn+a1xn1++an=xab0xn1+b1xn2++bn1+Ra0xn+a1xn1++an=b0xn+b1xn1++bn1xab0xn1ab1xn2abn1+Ra0xn+a1xn1++akxnk++an=b0xn+b1ab0xn1++bkabk1xnk+abn1+R

از تساوی ضرایب جمله‌های هم درجه، خواهیم داشت:

a0=b0a1=b1ab0         b1=a1+ab0                     ak=bkabk1   bk=ak+abk1                    an=Rabn1    R=an+abn1

تمرین

خارج قسمت چند جمله‌ای px=3x3+5x2+3x+1 را بر x+1 به‌دست آوريد. 

x+1=0x=1p1=313+512+31+1p1=3+53+1p1=Rp1=0


qx خارج قسمت و از درجه دوم است:

Px=3x3+5x2+3x+13x3+5x2+3x+1=x+1ax2+bx+c+03x3+5x2+3x+1=ax3+bx2+cx+ax2+bx+c3x3+5x2+3x+1=ax3+b+ax2+c+bx+c

a=3a+b=5b+c=3c=1a=3      ,       b=2         ,         c=1qx=ax2+bx+cqx=3x2+2x+1

در چند جمله‌ای px=ax4+bx+2 مقادیر a و b را چنان بيابيد كه باقيمانده تقسيم px بر دو جمله‌ای x2+2 برابر 3x-1 باشد.

درجه خارج قسمت:

nm=42=2

درجه خارج قسمت 2 است يعنی خارج قسمت يک معادله درجه دوم است:

ax4+bx+2                    x2+2                                              ax2+mx+n        3x1         ¯

ax4+bx+2=x2+2ax2+mx+n+3x1ax4+bx+2=ax4+mx3+nx2+2ax2+2mx+2n+3x1ax4+bx+2=ax4+mx3+n+2ax2+2m+3x+2n1m=0n+2a=02m+3=b2=2n1m=0   ,   b=3   ,   n=32   ,   a=34


خارج قسمت:

qx=ax2+mx+nqx=34x2+32

خارج قسمت چند جمله‌ای px=8x3+22x2+22x+17 را بر عبارت 2x+4 به‌دست آوريد.

2x+4=0x=2R=p2R=823+2222+222+17R=3


خارج قسمت درجه دوم است. 

8x3+22x2+22x+17=2x+4ax2+bx+c38x3+22x2+22x+17=2ax3+2bx2+2cx+4ax2+4bx+4c38x3+22x2+22x+17=2ax3+2b+4ax2+2c+4bx+4c32a=82b+4a=222c+4b=224c3=17a=4   ,b=3    ,c=5


خارج قسمت:

qx=ax2+bx+cqx=4x2+3x+5

خارج قسمت تقسيم Px=x53x3+2x+1 را بر عبارت x-2 به‌دست آوريد.

خارج قسمت تقسيم از درجه 4 است و می‌توان آن را چنين فرض كرد:

qx=b0x4+b1x3+b2x2+b3x+b4Px=x2qx+Rx53x3+2x+1=x2b0x4+b1x3+b2x2+b3x+b4+Rx53x3+2x+1=b0x5+b1x4+b2x3+b3x2+b4x2b0x42b1x32b2x22b3x2b4+Rx53x3+2x+1=b0x5+b12b0x4+b22b1x3+b32b2x2+b42b3x+2b4+R

b0=a0=1b1=a1+ab0=0+2×1=2b2=a2+ab1=3+2×2=1b3=a3+ab2=0+2×1=2b4=a4+ab3=2+2×2=6R=a5+ab4=1+2×6=13R=13qx=x4+2x3+x2+2x+6


توجه نمائيد كه جدول هورنر بر اساس اين روش پديد آمده است.

اگر x24 بر x3+ax2+bx+c بخش پذير باشد، b را به‌دست آوريد. 

x24=x2x23=x2x36x2+12x8qxx36x2+12x8=x3+ax2+bx+ca=6   ,   b=12   ,   c=8

برای ارسال نظر وارد سایت شوید