باقیمانده چند جمله‌ ای بر حاصل‌ ضرب چند عبارت

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای
امتیاز:
بازدید: 51 مرتبه

 

قضیه

اگر باقیمانده تقسیم px بر x-a برابر R1 و باقیمانده تقسیم px بر x-b برابر R2 باشد، آن‌گاه باقیمانده تقسیم px بر حاصل ضربشان یعنی x-a.x-b برابر است با:  

R=R1R2abx+aR2bR1ab

این قضیه برای n پرانتز x-a.x-bx-c قابل تعمیم است.

اثبات

              px     xaxb                                      qx         R=mx+n¯


درجه باقیمانده، یک درجه از مقسوم‌علیه کم‌تر است و عبارت باقیمانده درجه اول می‌باشد.

px=xaxbqx+mx+n


باقیمانده تقسیم px بر x-a برابر R1 است:

px    xa              R1¯


xa=0x=apa=R1aaabqa+ma+n=R1ma+n=R1


باقیمانده تقسیم px بر x-b برابر R2 است: 

px    xb              R2¯


xb=0x=bpb=R2babbqb+mb+n=R2mb+n=R2


ma+n=R1mb+n=R2m=R1R2abn=aR2bR1abR=mx+nR=R1R2abx+aR2bR1abR=R1xbab+R2xaba   

نکته

اگر باقیمانده تقسیم px بر x-a و x-b و x-c به‌ترتیب برابر R1 و R2 و R3 باشد، باقیمانده تقسیم px بر حاصل ضرب آنها یعنی x-a.x-b.x-c برابر است با:  

R=R1xbxcabac+R2xaxcbcba+R3xaxbcacb

تمرین

اگر باقيمانده px بر x-1 برابر 4 و باقيمانده px بر x+2 برابر -5 باشد:  

باقيمانده px بر x-1x+2 را پيدا كنيد.

بخش پذیری در چند جمله ای - پیمان گردلو


باقيمانده px بر x-1 برابر 4 است:

x1=0x=1px=x1x+2qx+mx+np1=4m+n=4


باقيمانده px بر x+2 برابر -5 است:

x+2=0x=2px=x1x+2qx+mx+np2=52m+n=5


از دو تساوی به‌دست آمده، داریم:

m+n=42m+n=5m=3n=1R=mx+nR=3x+1

دریافت مثال

قضیه

اگر باقیمانده تقسیم px بر x-a و x-b برابر R باشد، باقیمانده تقسیم px بر حاصل ضرب آنها یعنی x-a.x-b برابر است R است.  

این قضیه برای n پرانتز x-a.x-bx-c قابل تعمیم است.

اثبات

              px     xaxb                                      qx         R=mx+n¯


درجه باقیمانده، یک درجه از مقسوم‌علیه کم‌تر است و عبارت باقیمانده درجه اول می‌باشد.

px=xaxbqx+mx+n


باقیمانده تقسیم px بر x-a برابر R است:

px    xa              R¯


xa=0x=aR=paR=ma+n


باقیمانده تقسیم px بر x-b برابر R است: 

px    xb              R¯


xb=0x=bR=pbR=mb+n


ma+n=Rmb+n=Rm=0n=Rmx+n=0x+R=R

تمرین

چند جمله‌ای px از درجه سوم را طوری پیدا می‌کنیم که باقیمانده‌اش بر x-1 و x-2 و x-3 برابر 6 و بر x+1 بخش‌پذیر باشد. 

p3x    x1x2x3                                   k                               6    ¯


باقیمانده px بر سه عبارت فوق، برابر 6 است، پس باقیمانده px بر حاصل‌ضرب آنها هم برابر 6 است.

p3x=x1x2x3.k+6


p3x بر x+1 بخش پذیر است:

x+1=0x=1p3x=x1x2x3.k+6p1=0111213k+6=0234k+6=024k+6=0k=14


چند جمله‌ای درجه سوم به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

p3x=14x1x2x3+6

قضیه

اگر باقیمانده تقسیم f1x بر gx برابر R1x و باقیمانده تقسیم f2x بر gx برابر R2x باشد، باقیمانده تقسیم f1x×f2x بر gx برابر است با باقیمانده تقسیم R1x×R2x بر gx       

اثبات

بخش پذیری در چند جمله ای - پیمان گردلو

f1x=gx.q1x+R1xf2x=gx.q2x+R2xf1x.f2x=gx.q1x+R1xgx.q2x+R2xf1x.f2x=g2x.q1x.q2x+gx.q1x.R2x+gxR1x.q2x+R1x.R2xf1x.f2x=gxq1x.q2xgx+q1x.R2x+R1x.q2x+R1x.R2xf1x.f2x=gx.Qx+R1x.R2x

اگر درجه R1x×R2x از درجه gx کم‌تر باشد، باقیمانده همان R1x×R2x است.    

اگر درجه R1x×R2x مساوی یا بیش‌تر از درجه gx باشد، آن را بر gx تقسیم کرده و باقیمانده به‌دست می‌‌آید.  

تمرین

اگر باقيمانده px و gx بر x2+2x+4 برابر x و 3x-1 باشد، آن‌گاه:

باقيمانده px×gx را بر x2+2x+4 پیدا کنید. 

بخش پذیری در چند جمله ای - پیمان گردلو


R1x=xR2x=3x1R1x×R2x=x3x1=3x2x



بخش پذیری در چند جمله ای - پیمان گردلو

         3x2x                              x2+2x+4       3x26x12                             3                              7x12          ¯


R=7x12

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

باقیمانده چند جمله‌ای بر حاصل‌ضرب چند عبارت

4,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید