بخش‌ پذیری دو جمله‌ ای توان‌ دار بر دو جمله‌ ای

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای
امتیاز:
بازدید: 53 مرتبه

بخش‌پذیریxm-amبرx-a

xmam      xa                            qx                 R¯

px=xmamxa=0x=apa=Ramam=RR=0

1- xm-am همواره بر x-a بخش‌پذیر است.

تمرین

2110-710 همواره به 21-7=14 بخش پذیر است.

2- اگر خارج‌قسمت xm-am بر x-a را به‌روش جدول هورنر تعیین کنیم، به اتحاد زیر می‌رسیم:   

xmam=xaxm1+xm2a++am1

3- xm-am وقتی بر xn-an بخش‌پذیر است که m=kn باشد، یعنی m مضربی از n باشد، چه زوج و چه فرد.

تمرین

x12-a12 همواره بر x3-a3 بخش‌پذیر است زیرا: 

12=4×312=3×4

اثبات

روش اول) k زوج یا فرد باشد 

px=xmam=xknakn=xnkankxnan=0xn=anpan=Rankank=RR=0


روش دوم) 

اگر m را بر n تقسیم کنیم، داریم m=kn+r آن‌گاه:

px=xmam=xkn+rakn+r=xnkxrankarxnan=0xn=anpan=ankxrankar=ankxrar

برای این‌که باقیمانده صفر شود، باید xrar=0 باشد، اما xa در نتیجه r=0 

ifr=0m=kn

دریافت مثال

بخش‌پذیریxm-amبرx+a

xmam      x+a                            qx                 R¯

px=xmamx+a=0x=apa=RR=amamR=0               ;       m=2k2am     ;      m=2k+1

1- xm-am وقتی بر x+a بخش‌پذیر است که m عددی زوج باشد.

تمرین

2110710 همواره بر 21+7=28 بخش‌پذیر است.

2- اگر خارج‌قسمت xm-am بر x+a را به‌روش جدول هورنر تعیین کنیم، به اتحاد زیر می‌رسیم:

xmam=x+axm1xm2a+xm3a2am1

3- xm-am وقتی بر xn+an بخش‌پذیر است که m=2kn باشد، یعنی m مضرب زوجی از n باشد.

تمرین

x12-a12 همواره بر x3+a3 بخش‌پذیر است زیرا  

12=4×3

x48-1 همواره بر x6+1 و x4+1 و x2+1 بخش‌پذیر است.

اثبات

px=xmam=x2kna2kn=xn2kan2kxn+an=0xn=anR=panR=an2kan2kR=0

به‌طور کلی اگر mn زوج باشد، xm-am بر xn+an بخش‌پذیر است.

دریافت مثال

بخش‌پذیریxm+amبرx+a

xm+am      x+a                            qx                 R¯

px=xm+amx+a=0x=apa=Ram+am=RR=2am       ;          m=2k0             ;         m=2k+1

1- xm+am وقتی بر x+a بخش‌پذیر است که m عددی فرد باشد. 

تمرین

2111+711 همواره بر 21+7=28 بخش‌پذیر است. 

2- اگر خارج‌قسمت xm+am بر x+a را به‌روش جدول هورنر تعیین کنیم، به اتحاد زیر می‌رسیم:

xm+am=x+axm1xm2a++am1

3- xm+am وقتی بر xn+an بخش‌پذیر است که m=2k+1n باشد، یعنی m مضرب فردی از n باشد.

تمرین

x12+a12 همواره بر x4+a4 بخش‌پذیر است زیرا: 

12=3×4

x48+1 همواره بر x16+1 بخش‌پذیر است.

اثبات

px=xm+am=x2k+1n+a2k+1n=xn2k+1+an2k+1xn+an=0xn=anR=panR=an2k+1+an2k+1R=a2k+1n+a2k+1nR=0

به‌طور کلی اگر mn فرد باشد، xm+am بر xn+an بخش‌پذیر است.

دریافت مثال

بخش‌پذیریxm+amبرx-a

xm+am      x-a                            qx                 R¯

px=xm+amxa=0x=apa=Ram+am=RR=2am     ;      m=2k2am     ;       m=2k+1

1- xm+am هیچ‌گاه بر x-a بخش‌پذیر نیست، زیرا به‌ازای هیچ مقداری از m، باقیمانده صفر نمی‌شود.

2- خارج‌قسمت را نمی‌توان به@روش هورنر تعیین کرد. 

3- xm+am هیچ‌گاه بر xn-an بخش‌پذیر نیست.

تمرین

آیا عبارت x7+y14 بر x-y2 بخش‌پذیر است؟

xy2=0x=y2px=x7+y14px=x7+y27py2=y27+y27py2=2y14py2=R0


عبارت x7+y14 هیچ‌گاه بر  x-y2 بخش‌پذیر نیست.

مثال‌ها و جواب‌ها

بخش‌پذیری دو جمله‌ای توان‌دار بر دو جمله‌ای

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید