لیست

نامعادلات یک مجهولی درجه اول

آخرین ویرایش: 05 دی 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه اول
امتیاز:

مقدمه: در صورتی که نابرابری، شامل یک یا چند متغیر باشد و به ازای بعضی از مقادیر عددی که جایگزین متغیرها شود، درست و به‌ازای بعضی از مقادیر عددی دیگر نادرست باشد، آن را یک نامعادله گویند.

 هر نابرابری بین دو عبارت جبری، شامل یک متغیر را نامعادله یک مجهولی می‌گوییم.

مجموعه جواب نامعادله یک مجهولی، مجموعه همه اعدادی است که به ازای آنها نامعادله به یک نابرابری درست تبدیل می‌شود.

تعریف نامعادلات یک مجهولی درجه اول

صورت کلی هر نامعادله یک مجهولی درجه اول به یکی از اشکال زیر است:

ax+b>0ax+b<0ax+b0ax+b0

که در همه آنها a0 و b اعداد حقیقی هستند.

هدف از حل نامعادلات بالا، به‌دست آوردن مجموعه جواب آن نامعادله است.

به حل نامعادله ax+b>0 می‌پردازیم:

با فرضa0ابتدا دو طرف نامعادله را با-bجمع می‌کنیم (یاbرا به سمت راست نامعادله می‌بریم) تا نامعادله هم ارز آن به‌دست آید:

ax+b+b>0+bax>b

اکنون برای یافتن مجموعه جواب نامعادله، باید دو طرف نامعادله را بر a تقسیم کنیم. بنابراین با توجه به خواص نابرابری، دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول:

اگر a>0 باشد، مجموعه جواب به‌صورت زیر است:   

if  a>0axa>bax>baD=ba,+

حالت دوم:

 اگر a<0 باشد، مجموعه جواب به‌صورت زیر است:

if  a<0axa<bax<baD=,ba

در نامعادله ax+b>0 اگر a=0 باشد: 

  • در صورتی که b>0 باشد، نا‌معادله برای هر x حقیقی درست است و مجموعه جواب R است. 
  • در صورتی که b<0 باشد، نا‌معادله جواب ندارد و مجموعه جواب تهی است.

یادآوری

برای حل نامعادلات یک مجهولی درجه اول می‌توان از خواص نابرابری که در زیر آمده، استفاده کرد:

1- اگر به دو طرف یک نامعادله، عدد دل‌خواهی را اضافه کنیم، یا از دو طرف آن عدد دل‌خواهی را کم کنیم، در مجموعه جواب نامعادله تغییری حاصل نمی‌شود.

2- اگر دو طرف یک نامعادله را در عدد مثبت دل‌خواهی ضرب یا بر عدد مثبت دل‌خواهی تقسیم کنیم، در مجموعه جواب نامعادله تغییری حاصل نمی‌شود.

3- اگر دو طرف یک نامعادله را در عدد منفی دل‌خواهی ضرب یا بر عدد منفی دل‌خواهی تقسیم کنیم، باید جهت نامعادله را عوض کنیم.

تمرین

نامعادلات درجه اول زیر را حل می‌کنیم:

2x+7<x4

تمام متغیرها را به سمت چپ و تمام اعداد را به سمت راست منتقل کرده و علامت آنها را عوض می‌کنیم:

2xx<47x<11

3x45x8

تمام متغیرها را به سمت چپ و تمام اعداد را به سمت راست منتقل کرده و علامت آنها را عوض می‌کنیم:

3x5x8+42x4


طرفین نامعادله را بر ضریب x یعنی -2 تقسیم می‌کنیم.


چون -2<0 است، جهت نامعادله عوض می‌شود:

2x242x2

2(m3)<5(m+1)12

2m+6<5m+512


7m<13


m>137

2(1x)+53(2x1)

22x+56x3


108x


108x


x54

12(3+4t)6(1312t)14(2+10t)

32+2t23t1252t

32+2t32112t


152t0


t0

تمرین

سینا و احمد در یک تیم فوتبال بازی می‌کنند.

شنبه گذشته احمد سه گل بیشتر از سینا به ثمر رساند، اما مجموع آنها کمتر از 9 گل به ثمر رساند.

تعداد احتمالی گل‌هایی که احمد به ثمر رساند چقدر است؟

می‌دانیم که احمد سه گل بیشتر از سینا به ثمر رسانده است:

A=3+S


و می‌دانیم که مجموع آنها کمتر از 9 گل به ثمر رسانده‌اند:

S+A<9    ;    A=3+SS+3+S<92S+3<92S<932S<6S<3

سینا کمتر از 3 گل به ثمر رسانده و به این معنی است که سینا می‌توانست 0 ، 1 یا 2 گل به ثمر برساند.

احمد 3 گل بیشتر از سینا به ثمر رسانده، بنابراین احمد می‌توانست 3 ، 4 یا 5 گل به ثمر برساند.

تمرین

از بین 8 نوزاد، تعداد دختران بیشتر از پسران است.

چند نوزاد دختر می‌تواند وجود داشته باشد؟

تعداد نوزادان دختر را با g و تعداد نوزادان پسر را با b نشان می‌دهیم:

g+b=8b=8g


می‌دانیم که تعداد نوزادان دختر، بیشتر از تعداد نوزادان پسر است:

g>b    ;    b=8gg>8g2g>8g>4


بنابراین داریم:

b=8gif   g=8b=0


حالت  فوق قابل قبول نیست زیرا در این حالت نوزاد پسر نداریم.

if   g=7b=1if   g=6b=2if   g=5b=3if   g=4b=4


حالت آخر قابل قبول نیست زیرا همواره g>4 است.

نکته

اگر x=a جواب نامعادله درجه اول باشد، این جواب در نامعادله صدق می‌کند. 

تمرین

نشان دهید کدام یک از اعداد زیر در نامعادلاتشان صدق می‌کند.

2(z5)4z ; z=1

2(15)?4(1)84   OK

2(z5)4z ; z=-5

2(55)?4(5)2020  OK

2(z5)4z ; z=-12

2(125)?4(12)3448   NOT OK

دریافت مثال

نامعادلات عبارات درجه اول گویا

نامعادلا‌تی را که در آن عبارات گویا وجود داشته باشند، را نامعادلات شامل عبارات گویا می‌نامند.

برای حل این نامعادلات:

همه‌ عبارات جبری را به یک طرف نامعادله منتقل می‌کنیم.

با مخرج مشترک‌گیری و ساده کردن عبارات جبری به‌دست آمده به نامعادلاتی نظیر نامعادلات زیر می‌رسیم:

PxQx>0PxQx<0PxQx0PxQx0

صورت و مخرج کسر، چند جمله‌ای‌هایی برحسب متغیر x هستند.

برای یافتن مجموعه جواب هر یک از نامعادلات بالا، عبارت زیر را در یک جدول تعیین علامت می‌کنیم:

PxQx

دریافت مثال

نکته

تابع زیر را در نظر بگیرید:

fx=Axa1n1...xaknkBxb1m1...xbrmr

nk,...,n1 و mr,...,m1 اعداد طبیعی هستند. 

ak,...,a1 و br,...,b1 اعداد حقیقی متمایز هستند. 

آن‌گاه  نامعادله fx>0 یا fx<0 را یک نامعادله گویا می‌نامیم.   

x=ai به‌ازای i=1,...,k را ریشه fx=0 و x=bi می‌نامیم. 

x=bi به‌ازای i=1,...,r را نقطه انفصال fx می‌نامیم.  

برای حل نامعادله فوق، تمام aiها و biها را به‌تربیت صعودی از چپ به راست می‌نویسیم و مانند دستورالعمل‌های زیر، اقدام می‌کنیم. 

به‌ازای ریشه‌های fx=0  عبارت برابر صفر است اما از نامعادلات گویا به‌ازای bi ها یعنی ریشه‌های مخرج کسر تعریف نشده است.  

یادآوری

برای تعیین علامت یک عبارت در یک خط ، ریشه های عبارات صورت و مخرج را یافته  به ترتیب نزولی به صعودی از چپ به راست می‌نویسیم، سپس ضرایب متغیرها چه در صورت و چه در مخرج را در هم ضرب می‌کنیم تا علامت آن به‌دست آید‌، سپس از راست به چپ علامت به دست آمده را در جدول قرار می‌دهیم و به ریشه‌های ساده که رسیدیم تغییر علامت می‌دهیم و به ریشه‌های مضاعف که رسیدیم تغییر علامت نمی‌دهیم.

تمرین

نامعادله زیر را حل کنید.

x13x+24x35x+6x2x730

ریشه‌های صورت عبارتند از 6,3,2,1 

و ریشه‌های مخرج یا انفضال عبارتند از 0,7 

ضمنا x=2  ,  x=0 ریشه‌های مضاعف هستند.


نامعادلات یک مجهولی درجه اول - پیمان گردلو


D=6,00,13,7

دریافت مثال

بحث درباره مجموعه جواب نامعادلات درجه اول

نا‌معادلات زیر با شرط a0 در زیر آمده است:

ax+b>0ax+b<0ax+b0ax+b0

مجموعه جواب به‌ترتیب یکی از صورت‌های زیر است:

ba,+  ,  ,ba  ,ba,+   ,  ,ba

  • اگر هر یک از نامعادلات بالا با شرط a=0 تبدیل به یک نابرابری همیشه درست شد، آن‌گاه مجموعه جواب نامعادله اعداد حقیقی R است.
  • اگر هر یک از نامعادلات بالا با شرط a=0 تبدیل به یک نابرابری همیشه نادرست شد، آن‌گاه مجموعه جواب نامعادله، مجموعه تهی است.

دریافت مثال

نامعادلات یک مجهولی درجه اول پارامتری

برای بررسی نامعادلات پارامتری به تمرین زیر توجه کنید:

تمرین

مجموعه جواب نامعادلات زیر را به‌ازای پارامتر a به‌دست آورید.

x+3aax2<1

x+3aax21<01ax+3a+2ax2<0


ریشه های صورت و مخرج نامساوی را به‌دست می‌آوریم:

1ax+3a+2=0x=3a+2a1ax2=0x=2a

برای این‌که بدانیم از دو مقدار 3a+2a1 و 2a کدام بزرگ‌ترند، تفاضل آنها را تشکیل می‌دهیم:

3a+2a12a=a3a+22a1aa1=3a2+2aa1

صورت این کسر همیشه مثبت است و مخرج آن به‌ازای a<0 یا a>1 مثبت است یعنی داریم:

if     a<0          a>12a<3a+2a1if     0<a<13a+2a1<2a

چهار حالت داریم:


حالت اول)

اگر 0<a<1 در این حالت ضریب های x در صورت و مخرج هم‌علامت هستند زیرا a1a به‌ازای 0<a<1 مثبت است بنابراین:

0<a<13a+2a1<x<2a

 حالت دوم) 

اگر a<0 یا a>1 در این صورت ضریب های x در صورت و مخرج نامعادله زیر با علامت های مختلف هستند: 

1ax+3a+2ax2<0

و داریم:

a<0a>1x<2a     x>3a+2a1

حالت سوم)

اگر a=0 در این حالت در نامعادله زیر:

1ax+3a+2ax2<0

داریم:

x+22<0  x>-2


حالت چهارم)

اگر a=1 در این حالت نامعادله زیر:

1ax+3a+2ax2<0

داریم:

5x2<0  x<2


جواب های نامعادله را در جدول زیر منظم می‌کنیم:


نامعادلات درجه اول پارامتری - پیمان گردلو

2ax+35x4a<4

2ax+35x4a<42ax+35x4a4<02a10x+16a+35x4a<0

ریشه های صورت و مخرج نامساوی را به‌دست می‌آوریم:

2a10x+16a+3=0x=16a+32a105x4a=0x=4a5

برای این‌که بدانیم از دو مقدار 16a+32a10 و 4a5 کدام بزرگ‌ترند، تفاضل آنها را تشکیل می‌دهیم:

4a516a+32a10=4a5+16a+32a10=8a2+1510a10

سه حالت داریم:


حالت اول)

اگر a<10 در این‌صورت 8a2+1510a10<0 و داریم:

4a5<16a+32a10

در نامعادله زیر: 

2a10x+16a+35x4a<0

جواب ها این چنین است:

a<10x<4a5    x>16a+32a10

حالت دوم)

اگر a>10 در این‌صورت 8a2+1510a10>0 و داریم:  

16a+32a10<4a5

در نامعادله زیر:

2a10x+16a+35x4a<0

جواب ها این چنین است:

a>1016a+32a10<x<4a5

حالت سوم)

اگر a=10 باشد:

2a10x+16a+35x4a<01635x8<0


if   a=105x8<0x8<0x<8

خرید پاسخ‌ها

نامعادلات یک مجهولی درجه اول

12,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید