برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری
لیست

سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه اول

حل مسئله به كمک معادلات یک مجهولی درجه اول

آخرین ویرایش: 11 بهمن 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه اول
امتیاز:

هنر تشکیل دادن معادله

زبان جبر، معادله است. این گفته نیوتن است:

برای این‌که مسئله مربوط به اعداد و یا نسبت مقادیر را حل کنیم، تنها ضروری است مسئله را از زبان مادری به زبان جبر برگردانیم.

تاجری دارای یک مقدار پول بود:

x

در سال اول 100 تومان آن را خرج کرد:

x-100

به پول باقیمانده یک سوم آن را اضافه کرد: 

x100+x1003=4x4003

در سال بعدی او بار دیگر 100 تومان آن را خرج کرد:

4x4003100=4x7003

به مقدار باقیمانده، یک سوم آن را اضافه کرد: 

4x7003+13×4x7003=16x28009

در سال سوم او بار دیگر 100 تومان آن را خرج کرد:

16x28009100=16x37009

سرمایه او دو برابر سرمایه اولیه گردید:

16x37009=2x

برای این‌که سرمایه اولیه تاجر را تعییین کنیم، کافی است معادله فوق را حل کنیم. 

تعریف - 

برای حل مسئله به کمک معادلات یک مجهولی در جه اول:

  1. مفروضات مسئله را از آن استخراج می‌کنیم.
  2. مسئله را به یک معادله درجه اول تبدیل و حل می‌کنیم. 

به عنوان نمونه، طول یک فنر 10 سانتی متر است:

مغادلات درجه اول - پیمان گردلو

وقتی وزنه ای به جرم x به آن وصل شود، طول فنر از رابطه y=0/8x+10 پیدامی‌شود.

اگر وزنه ای به جرم 5 کیلوگرم به آن وصل شود، طول فنر را محاسبه می‌کنیم:

y=0/8x+10              ;          x=5y=0/85+10y=4+10y=14

تمرین

اتومبیلی فاصله بین دو شهر را با سرعت 60kmh پیموده و با سرعت 40kmh بازگشته است.

سرعت متوسط حرکت آن چقدر بوده است؟

سادگی در ظاهر مسئله، بسیاری از اشخاص را گمراه می‌کند.


بدون آن‌که به شرط‌های مسئله پی ببرند، میانگین حسابی یعنی نصف مجموع 60 و 40 را پیدا می‌کنند.

60+402=50


حل فوق در صورتی صحت می‌داشت که مدت زمان رفت و برگشت یکی می‌بود.


اتومبیل در هنگام بازگشت، با سرعت کم‌تر، وقت بیش‌تری را برای برگشتن گرفته است.


x فاصله بین دو شهر را به‌عنوان مسافتی که متحرک طی می‌کند، در نظر بگیریم .


سرعت متوسط را با v نمایش می‌دهیم.


زمان کل حرکت را با t نشان می‌دهیم.

x=v×tt=xv


اگر t1 زمان رفت و t2 زمان برگشت متحرک باشد و t زمان کل، داریم:

t=t1+t22xv=x60+x40    ;    x0


طرفین را بر x تقسیم می‌کنیم:

2v=160+140


v=2 160+140


v=2 2+3120


v=2405


v=48kmh

تمرین

در یک کلاس جبر در مجموع 350 امتیاز وجود دارد.

این امتیازها از مجموعه پنج تکالیف شب که هر کدام 10 امتیاز و شامل سه دوره امتحان هست که هر کدام 100 امتیاز می‌باشند.

دانش آموزی نمرات 9 , 7 , 7 , 8 , 4 را برای تکالیف خود دریافت کرده است و دو نمره  83 , 78 را به‌ترتیب از امتحانات دور اول و دوم دریافت کرده است.

با فرض این‌که نمرات بر اساس مقیاس استاندارد تعیین شده‌اند و هیچ وزنی برای هیچ یک از نمرات در نظر گرفته نشده است، آیا ممکن است این دانش آموز در کلاس، نمره  A را دریافت کند و در این صورت حداقل نمره در امتحان سوم چقدر است؟

فرض کنیم p حداقل نمره لازم در آزمون سوم باشد.


از آنجا که هیچ وزنی در نمرات وجود ندارد، نمره با محاسبه درصد زیر تعیین می‌شود.


نمره به درصد، برابر است با نسبت نمرات واقعی به مجموع نمرات ممکن.


در مقیاس استاندارد اگر درصد نمره 0.9 یا بالاتر باشد، دانش آموز A می‌گیرد.


ما می‌دانیم که مجموع امتیازهای ممکن 350 است و دانش آموز کل امتیازات (شامل امتحان سوم) را دارد.

4+8+7+7+9+78+83+p=196+p


0.9 کوچک‌ترین درصد ممکن برای دریافت A است و بنابراین اگر p حداقل نمره مورد نیاز در امتحان سوم برای دریافت A باشد، ما به معادله زیر خواهیم رسید:

196+p350=0.9


برای یافتن p ، معادله خطی زیر را حل می‌کنیم:

196+p=0.9(350)


p=315196


p=119


بنابراین حداقل نمره مورد نیاز در امتحان سوم 119 است.


این یک مشکل است زیرا این امتحان فقط 100 امتیاز دارد و به‌عبارت دیگر، دانش آموز در کلاس جبر نمره A نمی‌گیرد.

تمرین

چهار برادر، جمعا 45 سکه طلا داشتند.

هرگاه به تعداد سکه‌های برادر اول دو سکه اضافه کنیم و از تعداد سکه‌های برادر دومی دو سکه کم کنیم و سکه برادر سومی را دو برابر زیاد کنیم و از سکه‌های برادر چهارمی دو برابر کم شود، در این‌صورت سکه‌های آنها با هم برابر می‌شوند.

هر کدام از آنها دارای چند سکه بودند؟ 

هر چهار برادر جمعا 45 سکه داشتند:

x+y+z+t=45

هرگاه به تعداد سکه‌های برادر اول دو سکه اضافه شود:

x+2

و از تعداد سکه‌های برادر دومی دو سکه کم شود:

y-2

و سکه‌های برادر سومی، دو برابر شود:

2z

و سکه‌های برادر چهارمی دو برابر کم شود:

t2

در این‌صورت پول آنها با هم برابر می‌شود:

x+2=y2=2z=t2


x+2=y2y=x+4x+2=2zz=x+22x+2=t2t=2x+4


x+y+z+t=45


x+x+4+x+22+2x+4=45


x+x+x2+2x+4+1+4=45


2x+2x+x+4x2=459


9x2=36


9x=36×2


x=8


x=8y=x+4=8+4=12z=x+22=8+22=5t=2x+4=28+4=20

تمرین

پدری 32 سال و پسرش 5 سال سن دارد.

بعد از چند سال، سن پدر 10 برابر سن پسرش می‌شود؟

مدت مطلوب را به x نشان می‌دهیم:


بعد از گذشت x سال سن پدر 32+x و سن پسر 5+x می‌شود.


چون پدر 10 برابر سن فرزندش هست، داریم:

32+x=105+xx=2


عبارت x=-2 به معنی دو سال پیش است.


سن پدر 2 سال پیش 10 برابر سن پسرش بوده و در زمان حال هیچ‌گاه 10 برابر سن پسرش نخواهد بود.   

تمرین

اعداد 46 و 96 خصوصیت جالبی دارند:

کمیت حاصل ضرب آنها در اثر جابجایی ارقام، تغییر نمی‌کند:

46×96=4416=64×69

آیا جفت‌های اعداد دو رقمی دیگری با همان خصوصیت موجود است؟

چطور می‌شود تمام آنها را پیدا کرد؟

ارقام عدد 46 را با x و y نمایش می‌دهیم:

46=10x+y


ارقام عدد 96 را با z و t نمایش می‌دهیم:

96=10z+t


 تساوی زیر را در نظر بگیرید:

46×96=64×69


با توجه به تساوی فوق، معادله زیر را تشکیل می‌دهیم:


10x+y10z+t=10y+x10t+z


به ساده کردن پرانتزها، می‌پردازیم:


100xz+10xt+10zy+yt=100yt+10yz+10xt+xz


99xz=99yt


بعد از ساده کردن پرانتزها، داریم:


xz=yt


در تساوی فوق، t,z,y,x اعداد صحیح کوچکتر از 10 می‌باشند.


تمام جفت‌هایی را که حاصل‌ضرب مساوی دارند را تشکیل می‌دهیم:

1×4=2×21×6=2×31×8=2×41×9=3×32×6=3×42×8=4×42×9=3×63×8=4×64×9=6×6


از هر کدام از تساوی‌های فوق، می‌توان یک یا دو دسته اعداد مطلوب، تشکیل داد. 


به‌عنوان نمونه از برابری زیر یک جواب تشکیل می‌دهیم:


1×4=2×212×42=21×24


به‌عنوان نمونه دیگر، از برابری زیر دو جواب تشکیل می‌دهیم:

1×6=2×312×63=21×3613×62=31×26


بدین ترتیب چهارده جواب زیر، به‌دست می‌آید:

12×42=21×2412×63=21×3612×84=21×4813×62=31×2613×93=31×3914×82=41×2823×64=32×4623×96=32×6924×63=42×3624×84=42×4826×93=62×3934×86=43×6836×84=63×4846×96=64×69

تمرین

یک کشتی در مدت 5 ساعت بدون توقف از شهر A به شهر B در مسیر رودخانه‌ای رسیده است.

راه بازگشت را با همان سرعت و بدون توقف در 7 ساعت پیموده است.

قایق‌ها در چند ساعت، از شهر A به شهر B می‌رسند، اگر سرعت قایق‌ها با سرعت جریان رودخانه یکی باشد.

مدت زمانی را که کشتی برای پیمودن فاصله بین A و B در آب ساکن لازم دارد را به x بر حسب ساعت و مدت زمان حرکت قایق را به y برحسب ساعت نمایش می‌دهیم.


کشتی در مدت یک ساعت 1x فاصله AB را می‌پیماید.


 قایق در مدت یک ساعت 1y فاصله AB را می‌پیماید.


سرعت کشتی به سرعتی که موتور کشتی ایجاد می‌کند، بستگی دارد و هم‌چنین سرعت رودخانه:


1x+1y فاصله AB را کشتی در مدت یک ساعت در سوی جریان رودخانه طی می‌کند و در سوی خلاف جریان 1x-1y را طی می‌کند.  


اما طبق فرض، کشتی در مدت یک ساعت 15 فاصله را در سوی رفت و 17 را در سوی برگشت طی می‌کند.


دستگاه زیر به‌دست می‌آید:


1x+1y=151x1y=17


معادله دوم را از معادله اول کم می‌کنیم:


1x+1y1x1y=1517


2y=235y=35


بنابراین قایق‌ها 35 ساعت از شهر A به B می‌رسند.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

حل مسئله به كمک معادلات یک مجهولی درجه اول

4,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری