لیست

دستگاه‌‌ های دو معادله دو مجهولی

آخرین ویرایش: 05 دی 1400
دسته‌بندی: عبارات درجه اول
امتیاز:

دستگاه دو معادله دو مجهولی زیر را در نظر بگیرید:

ax+by=ca'x+b'y=c'

هدف از حل دستگاه‌های فوق، یافتن مقادیری برایxوyمی‌باشد که به‌ازای آنها در هر دو معادله صدق کنند.

روش‌هایی برای حل دستگاه‌های دو معادله دو مجهولی به شرح زیر، موجود است:

روش حذفی

در این روش:

  1. با ضرب کردن طرفین معادلات در اعداد مناسب، یکی از دو مجهول را از بین دو رابطه حذف می‌کنیم و مجهول دیگر را به‌دست می‌آوریم.
  2. با قرار دادن آن در یکی از روابط، مجهول حذف شده را به‌دست می‌آوریم.

به‌عنوان نمونه برای حل دستگاه زیر به روش حذفی داریم:

روش حذفی - پیمان گردلو

تمرین

جواب دستگاه های زیر را به روش حذفی، حل می‌کنیم:

5x+4y=13x6y=2

3×2×5x+4y=13x6y=2


15x+12y=36x12y=4


برای حذف متغیر y طرفین تساوی‌ها را باهم جمع می‌کنیم:


21x=7


x=13


با قرار دادن x=13 در یکی از روابط، مجهول حذف شده را به‌دست می‌آوریم:


3x6y=2


3(13)6y=2


16y=2


6y=1


y=16

2x+4y=106x+3y=6

-3×2x+4y=106x+3y=6


-6x-12y=306x+3y=6


برای حذف متغیر x طرفین تساوی‌ها را باهم جمع می‌کنیم:


-9y=36


y=-4


با قرار دادن y=-4 در یکی از روابط، مجهول حذف شده را به‌دست می‌آوریم:


2x+4y=10


2x+4(4)=10


2x16=10


2x=6


x=3

2x+5y=110x25y=5

5×2x+5y=110x25y=5


10x+25y=-510x25y=5


برای حذف متغیر x طرفین تساوی‌ها را باهم جمع می‌کنیم:


0=0


تساوی فوق به این معنی است که هر دو معادله خط در دستگاه فوق، یکی است و بر هم منطبق هستند. 

تمرین

در یک مزرعه 20 شتر مرغ و گاو وجود دارد.

پاهای آنها 56 عدد است و می‌خواهیم بدانیم در این مزرعه چند شتر مرغ و چند گاو وجود وجود دارد؟

می‌دانیم شتر مرغ 2 پا و گاو 4 پا دارد. فرض کنیم تعداد شتر مرغ ها x و تعداد گاوها y است.

با توجه به داده های مطره شده، دستگاه دو معادله دو مجهولی به شرح زیر موجود است که با حل آن تعداد شتر مرغ و گاو به‌دست می‌آید:

x+y=202x+4y=56


در دستگاه فوق، طرفین معادله اول را در -2 ضرب می‌کنیم:

2×x+y=202x+4y=56     2x2y=402x+4y=56


برای حذف متغیر x طرفین تساوی‌ها را باهم جمع می‌کنیم:

2y=16y=8


با قرار دادن y=8 در یکی از روابط، مجهول حذف شده را به‌دست می‌آوریم.

x+y=20x+8=20x=12


این مزرعه 12 شترمرغ و 8 گاو دارد.

دریافت مثال

 روش قیاسی

در این روش:

  1. y را در هر دو رابطه بر حسب x به‌دست می‌آوریم و طرف‌های دوم بر حسب x را مساوی هم قرار می‌دهیم.
  2. x را تعیین کرده، با استفاده از یکی از دو رابطه، مقدار y را به‌دست می‌آوریم.

دریافت مثال

روش تبدیلی یا جایگزینی

در این روش از رابطه اولی y را بر حسب x (یا برعکس) تعیین کرده و در رابطه پایینی قرار می‌دهیم، x را تعیین و سپس y (یا برعکس) را به‌دست می‌آوریم.

به‌عنوان نمونه برای حل دستگاه زیر به روش تبدیلی(جایگزینی) داریم:

روش تبدیلی - پیمان گردلو

تمرین

جواب دستگاه های زیر را به روش جایگزینی یا تبدیلی، حل می‌کنیم:

x3y=72x7y=15

از معادله اول مقدار x را بر حسب y محاسبه می‌کنیم و در معادله دوم قرار می‌دهیم:

x3y=7x=3y+7


2x7y=15


23y+77y=15


6y+147y=15


y=-1


x=3y+7     ;    y=1x=31+7x=4

3xy=72x+3y=1

از معادله اول مقدار y را بر حسب x محاسبه می‌کنیم و در معادله دوم قرار می‌دهیم:

3xy=73x7=y


2x+3y=1


2x+3(3x7)=1


2x+9x21=1


11x=22


x=2


y=3x7=3(2)7=1

5x+4y=13x6y=2

از معادله دوم مقدار x را بر حسب y محاسبه می‌کنیم و در معادله اول قرار می‌دهیم:

3x6y=2


3x=6y+2


x=2y+23


5x+4y=1


5(2y+23)+4y=1


10y+103+4y=1


14y=1103=73


y=(73)(114)


y=16


x=2y+23x=2(16)+23x=13+23=13

دریافت مثال

 روش کرامر

با استفاده از دترمینان ضرایب، x و y را به‌دست می‌آوریم:

x=cbc'b'aba'b'=cb'bc'ab'ba'  ,  y=aca'c'aba'b'=ac'ca'ab'ba'

دریافت مثال

روش ترسیمی

جواب دستگاه ax+by=ca'x+b'y=c' را می‌توان، مختصات نقطه تقاطع دو خط دانست.  

تمرین

جواب دستگاه زیر را به‌روش ترسیمی حل می‌کنیم:

xy=1x+y=3

xy=1y=x1                                                             if  x=0y=01y=1      ;      A=01  if  x=1y=11y=0      ;          B=10      


x+y=3y=3xif  x=0y=30y=3      ;      C=03if  x=1y=31y=2      ;       D=12


روش ترسیمی - پیمان گردلو

نقطه 21 مختصات تقاطع دو خط، جواب دستگاه فوق می‌باشد.

دریافت مثال

تذکر

دستگاه‌ها را معمولا به روش حذفی حل می‌کنیم.

در حل دستگاه‌هایی به‌شکل y=ax+by=a'x+b' روش قیاسی مناسب‌تر است.

دریافت مثال

بحث در دستگاه های دو معادله دو مجهول

حالت اول:

اگر aa'bb' باشد، دستگاه یک جواب دارد و به لحاظ هندسی دو خط متقاطع هستند.

حالت دوم:

اگر aa'=bb'cc' باشد، دستگاه جواب ندارد و نشدنی است و به لحاظ هندسی دو خط موازی است و همدیگر را قطع نمی‌ کنند.

حالت سوم:

اگر aa'=bb'=cc' باشد، دستگاه مبهم است و بی‌شمار جواب دارد و از لحاظ هندسی دو خط  فوق بر هم منطبق گشته و بی‌شمار نقطه مشترک دارند.

نکته

اگر در دستگاه های درجه اول، تعداد معادلات کم‌تر از تعداد مجهولات باشد، دستگاه بی‌شمار جواب دارد.

تمرین

دستگاه زیر را حل می‌کنیم:

x+y=3x+z=5

تعداد معادلات در دستگاه فوق، کمتر از تعداد مجهولات می‌باشد، دستگاه بی‌شمار جواب دارد.


به x هر مقداری بدهیم، یک مقدار برای y و یک مقدار برای z به‌دست می‌آید.

نکته

اگر در دستگاهی تعداد معادلات بیشتر از تعداد مجهولات باشد، دستگاه وقتی سازگار است و جواب دارد که جواب‌های حاصل از دو معادله در سایر معادلات صدق کند.

تمرین

دستگاه زیر را حل می‌کنیم:

x+y=5xy=12x+y=7

دستگاه فوق سازگار نیست.


از دو معادله اول x=3y=2 به دست می‌آید که در معادله سوم صادق نیست.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

دستگاه‌‌های دو معادله دو مجهولی

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید