سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع نمایی (کاربردها)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

کاربرد تابع نمایی

مقدمه: برای ورود به بحث به تمرین زیر توجه کنید.

تمرین

شکاف هسته‌ای اورانیوم

در شکاف هسته‌ای اورانیوم، یک نوترون به هسته اورانیوم برخورد می‌کند و هسته اورانیوم به دو هسته سبک‌تر تقسیم می‌شود و مقداری انرژی، تولید شده و دو یا سه نوترون نیز آزاد می‌شود.
نوترون‌های جدید خودشان به هسته‌های دیگر اورانیوم برخورد کرده و منجر به آزاد سازی انرژی و نوترون‌های دیگر می‌شوند و همین طور این فرایند استمرار می‌یابد که به این فرایند، واکنش زنجیره‌ای می‌گوییم.
فرض کنیم در اثر شکافت هسته‌ای اورانیوم، سه نوترون آزاد شود:

کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

جدول فوق تعداد نوترون‌های آزاد شده را که از قانون تابع نمایی y=3x پیروی می‌کند، نشان می‌دهد و به کمک آن می‌توان تعداد نوترون‌های آزاد شده را در مرحله x پیش‌بینی کرد.

در مرحله ششم چه تعداد نوترون آزاد شده خواهیم داشت؟

برای یافتن تعداد نوترون آزاد شده در مرحله‌ ششم واکنش زنجیره‌ای، داریم:

y=3xy=36y=729

در کدام مرحله، تعداد نوترون‌های آزاد شده برابر با 243 نوترون خواهد بود؟

y=3x243=3x35=3xx=5

نکته

هر تابع با ضابطه زیر رفتار نمایی دارد: 

hx=kax ; k0  ,  a>0  ,  a1

به عنوان نمونه، توابع زیر  رفتار نمایی دارند:

fx=3×2x

gx=25x1

تمرین

اگر 10 گرم نمک را به مقدار کمی آب اضافه کنیم، مقدار نمک حل نشده در آب پس از t دقیقه از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

qx=1045t

مقدار نمک حل نشده در آب پس از 4 دقیقه را بیابید.

q4=104544/096   gr

نمودار این تابع را در بازه 0t5 رسم کنید.


کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

تمرین

یک توده باکتری را در محیط کشت در نظر بگیرید. 

فرض کنید با نمونه‌گیری از این جامعه، مشخص شده است که جرم باکتری‌ها در هر ساعت دو برابر می‌شود.

کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

اگر جرم باکتری‌ها را پس از t ساعت با mt نشان دهیم و با یک گرم شروع کنیم، یعنی m0=1 آنگاه با توجه به جدول زیر، به پرسش‌های مطرح شده، پاسخ می‌دهیم:

کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

در زمان‌های t=5 و t=6 جرم باکتری‌ها را به‌دست آورید. 

در فرمول mt=2t، مقدار mt جرم باکتری می‌باشد:

mt=2tm(5)=25=32m(6)=26=64

می‌خواهیم بدانیم پس از چند ساعت جرم باکتری‌ها 256 گرم می‌شود؟ پس از چند ساعت جرم باکتری‌ها 1024 گرم می‌شود؟

mt=2t256=2t28=2tt=81024=2t210=2tt=10

از اعداد جدول فوق، الگویی را برای محاسبه جرم باکتری‌ها در هر زمان به‌دست آورید.

همان طور که در ابتدای مساله ذکر گردید، m(t)=2t می‌باشد.

اگر بخواهیم جرم باکتری‌ها را در مرحله یازدهم یا مرحله‌ای بالاتر پیدا کنیم، قطعا محاسبات خیلی دشوارتر و وقت گیر خواهد شد.

برای ساده‌تر شدن محاسبات، جدول فوق را بر اساس توان‌های 2 بازنویسی می‌کنیم تا جدول زیر، حاصل شود:


کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

نمودار m(t)=2t را بر اساس جدول فوق، رسم می‌کنیم:


کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو 

در نمودار قبل، نقاط مشخص شده، اعداد صحیح نامنفی هستند، نقاطی از آن نمودار را با طول اعداد گویا، به‌دست آورید.

کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

نمودار m(t)=2t را بر اساس جدول فوق، رسم می‌کنیم:


کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

تمرین

تحت شرایط ایده‌آل، جرم یک توده معین از باکتری‌ها در هر ساعت دو برابر می‌شود.
فرض کنید در ابتدا 100 میلی‌گرم باکتری وجود دارد.

کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

جرم توده پس از t ساعت را به‌صورت یک تابع نمایی، بنویسید.

رفتار تابع نمایی را در حالت کلی به فرم زیر در نظر بگیرید:

f(t)=kat


در لحظه t=0، مقدار تابع برابر است با 100، پس می‌نویسم:

f(t)=katf(t)=100t=0100=ka0100=k×1k=100ft=100at


جرم توده معین از باکتری‌ها در هر ساعت دو برابر می‌شود.

اگر در لحظه t=0، مقدار تابع برابر است با 100 باشد، پس از یک ساعت در لحظه t=1 مقدار برابر با 200 می‌باشد:

ft=100at    ;    f(t)=200t=1200=100×a1a=2


تابع نمایی به‌فرم f(t)=100(2t) تعریف می‌شود.

جرم توده را پس از 20 ساعت، به‌دست آورید. 

f(t)=100(2t)    ;   t=20  f(20)=100×220f(20)=104,857,600

تمرین

داروها در بدن با ادرار دفع می‌شوند. فرض کنید 10 میلی‌گرم از یک نوع دارو در بدن شخصی قرار دارد و مقدار آن پس از t ساعت از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

At=100/8t

مقدار دارو پس از 8 ساعت چقدر است؟

At=100/8t    ;    t=8A(8)=100/88A(8)1/67

چه درصدی از دارو در هر ساعت از بین می‌رود؟

مقدار دارو در t=0:

At=100/8tt=0A0=100/80=10


مقدار دارو در t=1:

At=100/8tt=1A1=100/81=8


80% دارو در هر ساعت باقی مانده، پس در هر ساعت 20% دارو از بین می‌رود، به‌عبارت دیگر میزان از بین رفتن دارو در هر ساعت، برابر است با:

Bt=10100/8t=1010/8t


به مقدار Bt=1010/8t درصد از دارو در هر ساعت از بین می‌رود.

تمرین

در تصفیه آب، داخل فیلتر‌ها، لایه تمیز کننده‌ای قرار دارد که حدود 30 درصد از ناخالصی‌ها را حذف می‌کند و در نتیجه 70 درصد از ناخالصی‌ها باقی می‌ماند.

اگر داخل این فیلترها، دو لایه قرار دهیم آن‌گاه 0/7+0/7=0/49 یا 49 درصد از ناخالصی‌ها باقی می‌ماند.

درصد ناخالصی‌های موجود در آب از کدام رابطه به‌دست می‌آید؟

f(x)=100(0/7)x


متغیر x تعداد لایه‌های استفاده شده در فیلترها می‌باشد.

با قرار دادن چند لایه در فیلتر، می‌توان بیش از 96 درصد از ناخالصی‌های آب را از بین برد؟

رابطه درصد ناخالصی آب که به‌ازای تعداد لایه‌های x استفاده شده درفیلترها از بین می‌رود:

h(x)=1000/3x1000/3x<40/3x<0.04x=3

نکته

نیمه‌عمر

آیا تاکنون با خود فکر کرده‌اید که دانشمندان چگونه قدمت یک شی باستانی یا یک فسیل را پیدا می‌کنند؟


کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

در بدن هر موجود زنده، کربن 14 موجود است که با مرگ آن موجود، کربن 14 شروع به از بین رفتن می‌کند. بنابراین با اندازه‌گیری مقدار کربن باقیمانده، می‌توان قدمت آن شی یا موجود را پیدا کرد.
در حل این‌گونه مسائل از تابع نمایی استفاده می‌شود.

تمرین

فرض کنید Q جرم یک مقدار کربن 14 بر حسب گرم با نیمه‌عمر 5730 سال باشد (یعنی پس از 5730 سال نصف مقدار معینی از آن از بین می‌رود).
مقدار این کربن بعد از t سال از رابطه زیر بر حسب گرم به‌دست می‌آید: 

Qt=1012t5730

در لحظه t=0 مقدار کربن را به‌دست آورید. 

Q0=101205730=10   gr

بعد از t=2000 سال، مقدار کربن را بدست آورید.

Q2000=101220005730=7/85   gr

اگر t=5730 با شد، چه مقدار کربن نصف می‌شود؟ 

Q5730=101257305730=5   gr

تمرین

نیمه‌عمر یک نوع ماده هسته‌ای حدود 25 است.

اگر جرم نمونه‌ای از این ماده 24 میلی‌گرم باشد، جدول زیر تغییرات جرم نمونه را پس از t سال را نشان می‌دهد.

کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

با توجه به جدول فوق، جرم باقیمانده از این نمونه بعد از گذشت t سال از چه رابطه‌ای محاسبه می‌شود؟

mt=12 t2524mt=24×2t25

جرم باقیمانده پس از 40 سال را بدست آورید.

m40=242 40257/90mg

تمرین

نیمه‌عمر عنصری، چهار روز و جرم اولیه یک نمونه از آن یک گرم است.

جرم mt را که پس از t روز باقی می‌ماند، بیاید.

کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

با توجه به جدول فوق، جرم باقیمانده از این عنصر پس از t روز از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

mt=12t41

تمرین

نیمه‌عمر یک ماده هسته‌ای 30 سال است.

نمونه‌ای از این ماده 128 میلی‌گرم جرم دارد. جرمی که پس از 300 سال باقی می‌ماند، چقدر است؟  

کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

با توجه به جدول فوق، جرم باقیمانده از این عنصر پس از t از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

mt=12t30128


جرمی که پس از 300 سال باقی می‌ماند، برابر است با:

m300=1230030128=210128=0.125mg

رشد نمایی

در این قسمت یکی از کاربردهای مهم توابع نمایی را بررسی می‌کنیم. ابتدا رشد نمایی را مورد توجه قرار می‌دهیم:

معادله کلی رشد نمایی، به‌صورت ft=c1+rt است که در آن: 

  • ft بیان‌گر مقدار نهایی
  •  c بیان‌گر مقدار اولیه
  •  r بیان‌گر میزان رشد (تغییرات بر حسب اعشار)
  •  t بیان‌گر زمان

تمرین

جمعیت شهری یک میلیون نفر است.

اگر رشد جمعیت به صورت نمایی و با ضریب ثابت 6 درصد در سال باشد، جمعیت این شهر پس از ده سال چند نفر خواهد شد؟ 

ft=c1+rtf10=1.000.0001+0.0610f10=1.790.000

تمرین

در ابتدای سال 1990 میلادی، جمعیت کره زمین حدود 5/2 میلیارد نفر بوده است.

اگر رشد جمعیت به‌صورت نمایی و با ضریب ثابت 2 درصد در سال باشد، پس از 30 سال جمعیت کره زمین به چند میلیارد نفر خواهد رسید؟

c=5.2r=0.02t=30

ft=c1+rtf30=5.21+0.0230f30=9.419

پس از 35 سال، 70 سال، و 105 سال، جمعیت کره زمین چه میزان خواهد شد؟ 

f35=5.21+0.0235f35=10.399f70=5.21+0.0270f70=20.797f105=5.21+0.02105f105=41.593

با توجه به محاسبات بالا، آیا می‌توانید وضعیت جمعیت کره زمین را در هر دوره زمانی 35 ساله مقایسه کنید؟ 

جمعیت تقریبا دو برابر شده است.

تمرین

احسان هفده ساله است. پدرش قصد دارد مبلغ ده میلیون تومان برای او سرمایه‌گذاری کند.
او با توجه به این‌که سال 1397 به فرموده رهبر معظم انقلاب اسلامی، حمایت از کالای ایرانی، نام گذاری شده است، تصمیم گرفته است که این مبلغ را در یک شرکت تولید کننده کالای ایرانی سرمایه‌گذاری کند.
این شرکت اعلام کرده است که در پاسخ به اعتماد سرمایه‌گذاران به فعالیت‌های تولیدی‌اش، در پایان هر سال 14 درصد سود علی‌الحساب به آنان پرداخت خواهد کرد. جدول زیر را در نظر بگیرید:


کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

برای تکمیل جدول بالا، ابتدا مبلغ سرمایه‌گذاری شده در 18 سالگی احسان (یک سال بعد از سپرده‌گذاری در شرکت) را به‌دست آورید.

=10.000.000+10.000.000×14100=10.000.000+1.400.000=11.400.000


بنابراین در جدول، باید در سطر دوم، عدد 11.400.000را قرار دهیم.

اکنون سطر سوم جدول را محاسبه کنید.

در واقع، باید میزان سپرده‌گذاری شده در 18 سالگی احسان را در نظر بگیریم و بر اساس سود 14 درصد، مبلغ جدید سپرده‌گذاری شده را در 19 سالگی او (دو سال پس از سرمایه‌گذاری اولیه) به‌دست آوریم:

=11.400.000+11.400.000×14100=11.400.000+1.596.000=12.996.000


همان‌گونه که ملاحظه می‌کنید، میزان موجودی در 19 سالگی احسان به صورت زیر خلاصه می‌شود:

10.000.000×1/142=12.996.000

با توجه به فرمول فوق، میزان موجودی را در 23 سالگی احسان به‌دست آورید و جدول را کامل کنید.

کاربرد تابع نمایی - پیمان گردلو

معادله کلی که بیان‌گر مبلغ سرمایه‌گذاری پس از t سال است، به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

ft=10.000.000×1+0.14t

زوال نمایی

اگر مقدار تابع پس از گذشت زمان کاهش یابد، به آن مسئله زوال می‌گوییم. حال اگر تابع مورد نظر تابع نمایی باشد، می‌توان صحبت از زوال نمایی کرد.

معادله کلی زوال نمایی، به فرم ft=c1rt است که در آن:

  • ft بیان‌گر مقدار نهایی
  • c بیان‌گر مقدار اولیه
  • r بیان‌گر میزان نزول (تغییرات بر حسب اعشار)
  • t بیان‌گر زمان

تمرین

جزیره‌ای پر از موش شده بود. مسئولان تصمیم گرفتند به کمک گربه‌ها با موش‌ها مقابله کنند.در آن سال، جمعیت موش‌ها 23576 بود که پس از مبارزه با آنها، این تعداد با نرخ 2.5 درصد در سال رو به کاهش گذاشت. در همان سال، جمعیت گربه‌ها 15786 بود که با نرخ 1.8 درصد در سال رو به افزایش گذاشت.

جمعیت موش ها را در 10 سال متوالی به‌دست آورید.

ft=23.57610.025t=23.5760.975tf1=23.57610.0251=23.5760.9751=22986f2=23.57610.0252=23.5760.9752=22397f3=23.57610.0253=23.5760.9753=21689f4=23.57610.0254=23.5760.9754=21218f5=23.57610.0255=23.5760.9755=20746f6=23.57610.0256=23.5760.9756=20039f7=23.57610.0257=23.5760.9757=19568f8=23.57610.0258=23.5760.9758=19096f9=23.57610.0259=23.5760.9759=18625f10=23.57610.02510=23.5760.97510=18153

همین کار را برای جمعیت گربه‌ها طی 10 سال متوالی انجام دهید.

gt=15.7861+0.018t=15.7861.018t


g1=15.7861+0.0181=15.7861.0181=16070g2=15.7861+0.0182=15.7861.0182=16259g3=15.7861+0.0183=15.7861.0183=16653g4=15.7861+0.0184=15.7861.0184=16891g5=15.7861+0.0185=15.7861.0185=17206g6=15.7861+0.0186=15.7861.0186=17522g7=15.7861+0.0187=15.7861.0187=17838g8=15.7861+0.0188=15.7861.0188=18153g9=15.7861+0.0189=15.7861.0189=18469g10=15.7861+0.01810=15.7861.01810=18785

آیا می‌توانید حدس بزنید که در چه زمانی جمعیت گربه‌ها بیش‌تر از موش‌ها می‌شود؟

f9>g9f10<g10

سال دهم به بعد.

آیا می‌توانید حدس بزنید که در چه زمانی جمعیت موش‌ها و گربه‌ها با یک‌دیگر برابر می‌شود؟

بین سال نهم و دهم 

اگر همین روند ادامه پیدا کند، برای جمعیت گربه‌ها و موش‌ها چه اتفاقی می‌افتد؟

گربه‌ها زیاد و موش‌ها کم می‌شوند.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید