سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع لگاریتمی (کاربردها)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 58 مرتبه

کاربرد لگاریتم

محاسبه لگاریتم یک ابزار مناسب برای توصیف بسیاری از پدیده‌های طبیعی است.

  • شدت زلزله، مشخص کردن ضعیف‌ترین صدای قابل شنیدن توسط گوش انسان که به آن آستانه شنوایی می‌گویند.
  • محاسبه آستانه درد که قوی‌ترین صدای قابل تحمل برای گوش انسان است، به‌کمک این مفهوم ریاضی یعنی لگاریتم قابل تعریف و محاسبه است.
  • در پیش‌بینی تعداد جمعیت یک جامعه، پس از زمان معینی در برنامه‌ریزی اقتصادی نقش تعیین کننده‌ای دارد.
  • هنگام محاسبه نیمه‌عمر عناصر رادیو اکتیو که ماده اصلی در انرژی هسته‌ای است، از لگاریتم استفاده می‌کنیم.

تمرین

شکاف هسته‌ای اورانیوم

در شکاف هسته‌ای اورانیوم، یک نوترون به هسته اورانیوم برخورد می‌کند و هسته اورانیوم به دو هسته سبک‌تر تقسیم می‌شود و مقداری انرژی، تولید شده و دو یا سه نوترون نیز آزاد می‌شود.
نوترون‌های جدید خودشان به هسته‌های دیگر اورانیوم برخورد کرده و منجر به آزاد سازی انرژی و نوترون‌های دیگر می‌شوند و همین طور این فرایند استمرار می‌یابد که به این فرایند، واکنش زنجیره‌ای می‌گوییم.
فرض کنیم در اثر شکافت هسته‌ای اورانیوم، سه نوترون آزاد شود:

کاربرد لگاریتم - پیمان گردلو

جدول فوق تعداد نوترون‌های آزاد شده را که از قانون تابع نمایی y=3x پیروی می‎کند، نشان می‌دهد و به کمک آن می‌توان تعداد نوترون‌های آزاد شده را در مرحله x پیش بینی کرد.

در کدام مرحله تعداد نوترون‌های آزاد شده برابر با 243 نوترون خواهد بود؟

243=3xlog3243=xlog335=xx=5log33x=5×1x=5

تمرین

کاربردهای لگاریتم در شیمی

بر طبق تعریف، pH معیاری از میزان اسیدی، بازی (قلیایی) یا خنثی بودن یک محلول است و از رابطه زیر به‌دست می‌آید. 

pH=log10H3O+

در این رابطه H3O+ غلظت یون هیدرونیوم را نشان می‌دهد. pH هر یک از محلول‌های زیر را حساب کنید: 

الف) درآب پرتقال که غلظت یون هیدرونیوم برابر 2/9×104 مول بر لیتر است.

pH=log10H3O+pH=log102/9×104pH=log1029×101×104pH=log1029×105pH=log1029+log10105pH=log1029+5log1010pH=log1029+5log1010pH=log1029+51pH=log1029+5

ب) در شیر منیزی (شربت معده) که غلظت یون هیدرونیوم برابر 2/5×1011 مول بر لیتر است.

pH=log10H3O+pH=log102/5×1011pH=log1025×101×1011pH=log1025×1012pH=log1025+log101012pH=log1025+12log1010pH=log1025+12log1010pH=log1025+12

پ) در آب خالص که غلظت یون هیدرونیوم برابر 1×107 مول بر لیتر است.

pH=log10H3O+pH=log101×107pH=log10107pH=7log1010pH=7log1010pH=71pH=7

محلول‌ها را بر مبنای مقدار pH به سه دسته زیر تقسیم می‌شوند:

اسیدی pH<7

خنثی pH=7

بازی pH>7

مقدار غلظت یون هیدرونیوم در محلول خنثی چند مول بر لیتر است؟

برای محاسبه‌ مقدار غلظت یون هیدرونیوم در محلول خنثی pH=7 ،داریم:

pH=log10H3O+pH=77=log10H3O+7=log10H3O+107=H3O+H3O+=1×107

تمرین

تابع جمعیت

جدول زیر، جمعیت جهان را در قرن بیستم و پایان دهه اول قرن بیست و یکم نشان می‌دهد:

کاربرد لگاریتم - پیمان گردلو

با توجه به جدول، نمودار جمعیت جهان بر حسب سال در زیر رسم شده است:


کاربرد لگاریتم - پیمان گردلو

جمعیت در پایان سال 2016 تقریبا چقدر است؟

اگر محور x ها بیان‌گر سال و محور y ها بیان‌گر جمعیت باشد، تابع جمعیت در انتهای هر سال به‌صورت زیر برآورد می‌شود:


gx=0/0081/01376x


به‌سادگی دیده می‌شود که جمعیت در پایان سال 2016 تقریبا برابر است با:

g2016=0/0081/0137620167/385,074,512

در چه سالی جمعیت جهان به 8 میلیارد خواهد رسید؟ 

gx=0/0081/01376x    ;    gx=8×1098×109=8×1031/01376x1/01376x=1012log1/01376x=log1012xlog1/01376=log1012x=log1012log1/01376    ;    log  1/013760/005935x120/005935x2021

تمرین

زمین لرزه

ریشتر، مقیاسی برای اندازه‌گیری بزرگی زمین لرزه و نماد میزان انرژی آزاده شده در زلزله است.
اگر بزرگی زمین لرزه برابر M در مقیاس ریشتر باشد، مقدار انرژی آزاد شده بر حسب ارگ Erg از رابطه زیر حاصل می‌شود:

logE=11/8+1/5M

مقدار انرژی آزاد شده در یک زلزله 6/6 ریشتری را محاسبه می‌کنیم:

logE=11/8+1/5M   ;   M=6/6logE=11/8+1/56/6logE=21/7E=1021/7Erg

تمرین

نیمه‌عمر عناصر رادیو اکتیو

نیمه‌عمر به مدت زمانی گویند که ماده پرتوزا به نصف مقدار اولیه خود بر اثر واکنش‌های پرتوزایی کاهش یابد.
نیمه‌عمر عنصری چهار روز و جرم اولیه یک نمونه از آن یک گرم است.

جرم mt را که پس از t روز باقی می‌ماند، را بیاید.

کاربرد لگاریتم - پیمان گردلو


با توجه به جدول، جرم باقیمانده از این عنصر پس از t روز از رابطه زیر به‌دست می‌آید:


mt=12t41

طی چند روز، این جرم به 0/01 گرم کاهش می‌یابد؟

mt=12t41    ;    mt=0/010/01=12t4log20/01=log212t4log2102=log22t42log210=t4t=8log210t=8log1010log102t=8log102t=80/301t26/5


در روز بیست و هفتم، جرم به 0/01 گرم کاهش می‌یابد.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید