سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع مثلثاتی (کسینوس)

آخرین ویرایش: 13 مهر 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:

رسم تابع مثلثاتی کسینوس

حالت اول:

 تابع fx=cosx را در بازه 0,2π رسم می‌کنیم:

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

نکته

رابطه بین دایره مثلثاتی و دستگاه مختصات تابع مثلثاتی fx=cosx 

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

  حالت دوم: تابع fx=cosx را در بازه -2πو0 رسم می‌کنیم:

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

یادآوری

نمودار تابع fx=cosx را در بازه -2π,2π مشاهده می‌کنید:    

تابع مثلثاتی - پیمان گردلو

اکیدا یکنوایی تابع مثلثاتی کسینوس

حالت اول: برای بررسی یکنوایی و اکیدا یکنوایی، تابع fx=cosx را در بازه 0,2π رسم می‌کنیم:

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

  • وقتی که x از 0 تا π2 افزایش می‌یابد، مقدار y=cosx از 1 تا 0 کاهش می‌یابد. (اکیدا نزولی)
  • وقتی که x از π2 تا π افزایش می‌یابد، مقدار y=cosx از 0 تا -1 کاهش می‌یابد. (اکیدا نزولی
  • وقتی که x از π تا 3π2 افزایش می‌یابد، مقدار y=cosx از -1 تا 0 افزایش می‌یابد. (اکیدا صعودی)
  • وقتی که x از 3π2 تا 2π افزایش می‌یابد، مقدار y=cosx از 0 تا 1 افزایش می‌یابد. (اکیدا صعودی)

حالت دوم: برای بررسی یکنوایی و اکیدا یکنوایی، تابع fx=cosx را در بازه -2πو0 رسم می‌کنیم: 

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

  • وقتی که x از 0 تا -π2 کاهش می‌یابد، مقدار y=cosx از 1 تا 0 کاهش می‌یابد. (اکیدا صعودی)
  • وقتی که x از -π2 تا -π کاهش می‌یابد، مقدار y=cosx از 0 تا -1 افزایش می‌یابد. (اکیدا صعودی
  • وقتی که x از -π تا -3π2 کاهش می‌یابد، مقدار y=cosx از -1 تا 0 افزایش می‌یابد. (اکیدا نزولی)
  • وقتی که x از -3π2 تا -2π کاهش می‌یابد، مقدار y=cosx از 0 تا 1 کاهش می‌یابد. (اکیدا نزولی)

یک به یکی و معکوس پذیری تابع مثلثاتی کسینوس

تابع fx=cosx در دامنه‌اش یک به یک نیست، بنابراین در دامنه خود معکوس پذیر نیست.

اگر دامنه این تابع را محدود کنیم، فاصله‌هایی وجود دارند که این تابع در آنها معکوس پذیر می‌باشد، یعنی تحدیدهایی از این تابع وجود دارد که هر یک از آنها یک به یک می‌باشند، در زیر آنها را بررسی می‌کنیم.  

اگر نموار تابع fx=cosx را که دامنه آن R و برد آن -1و1 درنظر بگیریم، این تابع در R یک به یک نیست.

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

امّا مشاهده می‌کنیم که اگر تابع درهر یک از فواصل  ... و π,2π و 0,π و .... در نظر گرفته شود، یک به یک است.

قضیه

تابع مثلثاتی fx=cosx در فاصله 0,π یک به یک است.   

اثبات

x1,x20,πif  fx1=fx2cosx1=cosx2x1=2kπ+x2x1x2=2kπx1=2kπx2x1+x2=2kπ

اگر 0x1,x2π باشد، لذا جواب دوم قابل قبول نیست و جواب اول وقتی برقرار است که k=0 باشد.

if    x1x2=2kπ    ;    k=0x1x2=0x1=x2

طبق قرارداد، فاصله0,πرا برای تابعfx=cosxفاصله اصلی، تعریف می‌کنیم.

تعریف: تابع f:0,π1,1fx=cosx در فاصله اصلی 0,π یک به یک است، در نتیجه معکوس پذیر است.  

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

بررسی زوج و فرد بودن تابع مثلثاتی کسینوس

تابع مثلثاتی fx=cosx در دامنه تعریفش یعنی R تابعی زوج است و محور عرض‌ها، محور تقارن این تابع است.

xRxRfx=cosx=cosx=fx

بررسی دوره‌ تناوب تابع مثلثاتی کسینوس

دوره‌ تناوب تابع مثلثاتی کسینوس، فاصله‌ای است که منحنی fx=cosx مجددا تکرار می‌شود.

با دقت به نمودار تابع مثلثاتی کسینوس در شکل زیر، مشاهده می‌شود که نمودار در بازه‌هایی به طول .....,  6π,  4π,  2π تکرار می‌شود.

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

اما کوچک‌ترین بازه‌ای که نمودار این تابع در آن تکرار شده است، همان 2π است که به‌عنوان دوره‌ تناوب شکل فوق معرفی می‌شود.

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو

دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع fx=a.cosx 

1- می‌دانیم دوره تناوب تابع fx=cosx برابر 2π و مقادیر ماکزیمم و مینیمم این تابع به ترتیب 1 و -1 است.

می‌خواهیم تاثیر ضریب a را در تابع زیر بر دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم این تابع، بررسی نماییم:

fx=a.cosx

تابع مثلثاتی کسینوس - پیمان گردلو   

2- دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع زیر را محاسبه می‌کنیم:

fx=a.cosb.x

Tfx=2π1cosbx1aacosbxamaxf=aminf=a   ;    a>0

3- دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع زیر را محاسبه می‌کنیم:

fx=a cosb.x+c

Tfx=2πbif    1cosbx1aacosbxaa+cacosbx+ca+cmaxf=a+cminf=a+c

تذکر

تابع fx=a cosb.x+c دارای مقدار ماکزیمم a+c و مقدار مینیمم -a+c و دوره تناوب 2πb است.  

if   fx=a  cosbx+c    ;    Tfx=2πb    ,maxf=a+cminf=a+c

در این تابع، ضریب a در دوره تناوب تابع بی‌تاثیر است، اما در مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع تاثیرگذار است.

در این تابع، ضریب b در دوره تناوب تابع، ‌تاثیرگذار  است اما در مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع، بی‌تاثیر  است.

در این تابع، مقدار c نیز از آن‌جا که فقط باعث انتقال نمودار می‌شود، در دوره تناوب بی‌تاثیر است و صرفا در مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع تاثیر گذار است. 

با داشتن ضابطه تابعی به‌صورت فوق، می‌توان مقادیر ماکزیمم و مینیمم و دوره تناوب تابع را به دست آورد و برعکس با داشتن مقادیر ماکزیمم و مینیمم و دوره تناوب یک تابع مثلثاتی، می‌توان ضابطه تابع مورد نظر را به‌دست آورد.

دریافت مثال

رسم تابع مثلثاتی کسینوسی با استفاده از انتقال

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع مثلثاتی (کسینوس)

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید