سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع مثلثاتی (کتانژانت)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

رسم تابع مثلثاتی کتانژانت

تابع fx=cotx را در بازه 0,π رسم می‌کنیم:

تابع مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

تابع مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

اکیدا یکنوایی تابع مثلثاتی کتانژانت

برای بررسی یکنوایی و اکیدا یکنوایی، تابعfx=cotxرا در بازه 0,π رسم می‌کنیم:

تابع مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

  • وقتی که x از 0 تا π2 افزایش می‌یابد، مقدار y=cotx از مثبت بی‌نهایت تا 0 کاهش می‌یابد. (اکیدا نزولی)
  • وقتی که x از π2 تا π افزایش می‌یابد، مقدار y=cotx از 0 تا منفی بی‌نهایت کاهش می‌یابد. (اکیدا نزولی

تابع مثلثاتی fx=cotx و دایره مثلثاتی 

بر طبق دایره مثلثاتی زیر:

تابع مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

همان‌‌طور که مشاهده می‌کنید، با افزایش x ها، مقدار cotx در حال کاهش است، یعنی تابع fx=cotx را در بازه 0,π اکیدا نزولی است.

تمرین

از روی دایره مثلثاتی زیر، نشان دهید:

تابع مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

cotx=cosxsinx

دو مثلث OCD,OAB از طریق دو زاویه O^=O^ و A^=C^=90° با هم متشابه هستند، بنابراین نسبت اضلاع متناظر به‌صورت زیر می‌باشد:

CDAB=OCOAcotxcosx=1sinxcotx=cosxsinx

 یک به یکی و معکوس پذیری تابع مثلثاتی کتانژانت

تابع fx=cotx در دامنه‌اش که به‌صورت زیر تعریف شده است، یک به یک نیست:

Df=Rxx=kπ

بنابراین در دامنه خود معکوس پذیر نیست.

اگر دامنه این تابع را محدود کنیم، فواصلی وجود دارند که این تابع در آنها معکوس پذیر می‌باشد، یعنی تحدیدهایی از این تابع  وجود دارد که هر یک از آنها یک به یک می‌باشند، در زیر آنها را بررسی می‌کنیم.

تابع مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

اما مشاهده می‌کنیم که تابع در هر یک از فواصل .... و 0,π و -π,0 و .... در نظر گرفته شود، یک به یک و اکیدا نزولی است.

قضیه

تابع مثلثاتی fx=cotx در فاصله 0,π یک به یک است.   

اثبات

fx1=fx2cotx1=cotx2x1=kπ+x2x1x2=kπ


if     k=0x1x2=0x1=x2

 طبق قرارداد، فاصله 0,π را برای تابع fx=cotx فاصله اصلی، تعریف می‌کنیم.

تابع مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

تعریف: تابع f:0,πRfx=cotx در فاصله اصلی 0,π یک به یک است، در نتیجه معکوس پذیر است.

بررسی زوج و فرد بودن تابع مثلثاتی کتانژانت

تابع مثلثاتی fx=cotx در دامنه تعریفش یعنی R تابعی فرد است و مبدا مختصات، مرکز تقارن این تابع است.

xRxRfx=cotx=cotx=fx

بررسی دوره‌ تناوب تابع مثلثاتی کتانژانت

نشان می‌دهیم که T=π یک دوره تناوب برای تابع fx=cotx است. طبق تعریف توابع متناوب داریم:‌ 

Df=RxDfx+πDffx=cotxfx+π=cotx+πfx+π=cotxfx+π=fx

تابع مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

تذکر

درستی تساوی cotx=tanπ2x را ثابت می‌کنیم:

tanπ2π=sinπ2xcosπ2x=cosxsinx=cotx

ارتباط نمودارهای دو تابع y=tanx,y=cotx به‌صورت زیر است:

تابع مثلثاتی کتانژانت - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید