سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع وارون یا معکوس (تعریف و طرز نمایش آن)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 58 مرتبه

تعریف تابع معکوس

تابع y=fx با دامنه Df و برد Rf را به صورت زوج‌های مرتب در نظر می‌گیریم:

f=x,yy=fx

از تعویض جای مولفه‌های اول و دوم زوج‌های مرتب، به رابطه جدیدی می‌رسیم که آن را معکوس یا وارون تابع می‌نامیم.

اگر این رابطه را با g نشان دهیم:

g=y,xx,yf

لذا g رابطه‌ای است از Rf به Df.   

تمرین

معکوس یا وارون تابع زیر را بنویسید:

f=1,2,2,3,3,1,4,5

g=2,1,3,2,1,3,5,4

تذکر

اگر f تابعی یک به یک و معکوس پذیر باشد و معکوس آن تابع g باشد، g نیز معکوس پذیر خواهد بود و معکوس تابع g همان تابع f است.  

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید. آیا تابع یک به یک و معکوس پذیر است؟

f=1,2,2,3,3,1,4,5

تابع فوق، یک به یک و معکوس پذیر است و معکوس آن به صورت زیر می‌باشد:

g=2,1,3,2,1,3,5,4

آیا تابع g یک به یک و معکوس پذیر است؟

بله.معکوس g به صورت زیر می‌باشد:

f=1,2,2,3,3,1,4,5


همان‌طور که مشاهده می‌کنید، معکوس تابع g همان تابع f است.  

نکته

اگر f یک تابع باشد، آیا معکوس تابع f که آن را با f-1 نشان می‌دهیم، تابع است؟    

حالت اول: فرض کنید تابع f=2,3,3,4 مفروض باشد: 

f تابع است و یک به یک می‌باشد، بنابراین معکوس پذیر است و معکوس تابع f را به صورت زیر نشان می‌دهیم:  

f1=3,2,4,3

همان‌طور که مشاهده می‌شود، f-1 هم  تابع است زیرا f یک به یک است.


حالت دوم: فرض کنید تابع f=2,3,3,3 مفروض باشد:   

f تابع است و یک به یک نمی‌باشد، بنابراین معکوس پذیر نیست و معکوس f را به صورت زیر نشان می‌دهیم:  

f1=3,2,3,3

همان‌طور که مشاهده می‌شود، f-1 تابع نیست زیرا f یک به یک نیست.

در حالت اول f-1 تابع است، زیرا f یک به یک است. 

در حالت دوم f-1 تابع نیست، زیرا f یک به یک نیست. 

شرط لازم و کافی برای معکوس پذیر بودن تابع، یک به یک بودن آن است.

نکته

در f محور متغیر مستقل، محور x هاست و در f-1 محور متغیر مستقل، محور y هاست. 

اگر f=1,2,2,3,3,1,4,5 باشد، آنگاه f1=2,1,3,2,1,3,5,4 می‌باشد.

که در آن f1=2f-12=1 یا f2=3f-13=2 یعنی مانند آن است که جای محور x ها و yها را با هم عوض کرده باشیم.  

یادآوری

اگر f تابع یک به یک باشد، f معکوس پذیر است و f-1 را تابع معکوس f می‌نامیم.  

اگر f تابع یک به یک نباشد، f معکوس پذیر نیست و در این حالت f-1 را  فقط معکوس f می‌نامیم.  

لازم به ذکر است که f-1 را با 1f اشتباه نکنید. 

دریافت مثال

نمایش زوج مرتب تابع معکوس

اگر تابع f به‌صورت زوج مرتب بیان شود، برای یافتن تابع معکوس، کافی است جای مولفه‌های اول و دوم تابع f عوض شود تا تابع معکوس f یعنی تابع f-1 تولید شود.

توجه شود که تابع  بایستی یک به یک باشد. 

اگر f تابع یک به یک باشد، f معکوس پذیر است و f-1 را تابع معکوس f می‌نامیم.  

اگر f تابع یک به یک نباشد، f معکوس پذیر نیست و در این حالت f-1 را  فقط معکوس f می‌نامیم زیرا f-1 دراین حالت تابع نیست بلکه یک رابطه است. 

دریافت مثال

نمایش نمودار پیکانی تابع معکوس

اگر تابع f به صورت نمودار پـیکانی تعریف شده باشد، برای یافتن تابع معکوس یعنی f-1 کافی است جهت فلش نمودار پـیکانی f عوض شود. 

تمرین

نمودار پـیکانی تابع f به صورت زیر مفروض است:

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

تابع f-1 را به صورت نمودار پـیکانی نمایش می‌دهیم:

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

نمایش رابطه ریاضی تابع معکوس

مقدمه: اگر f تابعی یک به یک باشد و f-1 تابع معکوس (وارون) آن باشد، نمودار زیر کارکرد f و f-1 را نشان می‌دهد.

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

به‌عنوان نمونه، در نمودار زیر داریم:

3,11ff3=1111,3f1f111=3

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

برای محاسبه f-1 باید جای زوج‌‌های مرتب (مولفه‌های اول و دوم) را عوض کنیم، پس وقتی 3,11 روی f قرار دارد، با تعویض جای مولفه‌‌ها به 11,3 می‌رسیم.

از نظر ضابطه هم در f ورودی (یعنی 3) در 2 ضرب و سپس با 5 جمع‌ شده تا حاصل برابر 11 شود.  

حالا برای f-1 عملیات از آخر انجام می‌شود یعنی از 11 مقدار 5 واحد کم شده، سپس تقسیم بر عدد 2 شده است. 

تمرین

تابع زیر را در نظر می‌گیریم:

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

آیا تابع یک‌ به‌ یک است؟

هر x فقط به یک y نسبت داده شده است، پس تابع یک ‌به یک است.

ضابطه تابع فوق را بنویسید.

ضابطه تابع به ‌صورت y=3x+1 نوشته می‌شود.

معکوس تابع را به صورت زوج مرتب بنویسید.

f1=4,1,7,2,10,3,13,4,16,5

معادله‌ معکوس تابع را از روی مجموعه‌ زوج‌های مرتب فوق بنویسید.

y=x13

نمودار تابع و نمودار معکوس آن در یک دستگاه مختصات رسم ‌کنید.

f=1,4,2,7,3,10,4,13,5,16f1=4,1,7,2,10,3,13,4,16,5


تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

تعریف: اگر تابع به‌صورت رابطه ریاضی بیان شده باشد، برای یافتن ضابطه تابع معکوس به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

  1. از روی قانون تابع، x را بر حسب y محاسبه می‌کنیم.
  2. در قانون به‌دست آمده، تبدیل yxxf1x را انجام می‌دهیم.   

تمرین

 تابع fx=x2 مفروض است.

نشان دهید تابع فوق یک به یک است.

شرط آن‌که f معکوس‌پذیر باشد، آن است که یک ‌به ‌یک باشد. به بررسی یک‌ به‌ یک بودن تابع فوق می‌پردازیم:

fx1=fx2x12=x22x122=x222x12=x22x1=x2

ضابطه تابع معکوس تابع فوق را به دست آورید.

تابع فوق یک‌ به ‌یک است، بنابراین معکوس‌پذیر است. برای یافتن ضابطه‌ تابع معکوس داریم:


 از روی قانون تابع، x را برحسب y محاسبه می‌کنیم:

y=x2y2=x2x=y2+2


در قانون به‌دست آمده تبدیل xf1xyx را انجام می‌دهیم:

f1x=x2+2

تمرین

تابع زیر مفروض است:

fx=x+52    ;    x5

به روش جبری نشان دهید تابع فوق یک به یک است.

شرط آن‌که f معکوس‌پذیر باشد، آن است که یک ‌به ‌یک باشد. به بررسی یک‌ به‌ یک بودن تابع فوق می‌پردازیم:


fx1=fx2x1+52=x2+52x1+52=x2+52x1+5=x2+5x1+5=±x2+5    ;    x5x1+5=+x2+5x1=x2

به روش هندسی نشان دهید تابع فوق یک به یک است.

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو


از لحاظ هندسی، هر خط به موازات محور x ها، نمودار تابع را فقط در یک نقطه قطع می‌کند، پس یک ‌به‌ یک است.

ضابطه تابع معکوس تابع فوق را به دست آورید.

تابع فوق یک‌ به ‌یک است، بنابراین معکوس ‌پذیر است. برای یافتن ضابطه‌ تابع معکوس داریم:


y=x+52y=x+52y=x+5    ;    x5y=+x+5x=y5    ;    xf1xyxf1x=x5

دریافت مثال

یادآوری

نمودار f شامل همه زوج‌های مرتب x,y است که x متغیر مستقل است.

نمودار f-1 شامل همه زوج‌های مرتب y,x است که y متغیر مستقل است.

معکوس پذیری تابع چند ضابطه‌ای

اگر تابع f به‌صورت زیر باشد: 

fx=f1x    ;    xD1f2x    ;    xD2         fnx    ;    xDn

تابع فوق تحت دو شرط زیر معکوس پذیر است:

  1. اشتراک Rn,....R2,R1 دو به دو تهی باشد.
  2. هر یک از ضابطه‌های fnx,.....,f1x معکوس پذیر باشد.  

در این‌صورت ضابطه f-1x عبارت است از:

f1x=f11x    ;    xR1f21x    ;    xR2           fn1x    ;    xRn

نکته

با توجه به طولانی شدن محاسبه معکوس پذیری تابع چند ضابطه‌ای، کافی است نمودار تابع f را رسم کنیم:

اگر f اکیدا یکنوا باشد، آن‌گاه یک به یک است، بنابراین تابع f معکوس پذیر است.   

دریافت مثال

معکوس توابع قطعه قطعه یکنوا

مقدمه: اگر تابعی یک به یک نباشد، معکوس پذیر هم نیست، اما گاهی با محدود کردن دامنه یک تابع، می‌توان تابعی یک به یک به‌دست آورد.

توابع زیادی وجود دارند که در دامنه خود معکوس پذیر نیستند مانند توابع متناوب یا توابع زوج یا توابعی که در دامنه خود اکیدا یکنوا نیستند، اگر این توابع در فواصلی که اکیدا یکنوا باشند، در نظر گرفته شوند، دارای تابع معکوس خواهند بود.

بنابراین می‌توانیم عمل معکوس‌سازی را در مورد توابعی که قطعه قطعه یکنوا یا یک به یک می‌باشند به‌کار برد. 

کافی است این توابع به عنوان اجتماعی از توابع اکیدا یکنوا یا یک به یک در نظر گرفته شود و معکوس هر قطعه را به طور مجزا پیدا کنیم.

تمرین

تابع زیر مفروض است.این تابع در دامنه خود یک به یک نیست. با محدود کردن دامنه آن، تابع یک به یک بسازید تا این تابع معکوس پذیر شود. 

fx=x2

با محدود کردن دامنه تابع به بازه 0,+ یا ,0 یا زیر مجموعه‌هایی از این دوبازه، توابعی یک به یک به دست می‌آیند که معکوس پذیر هم هستند:


تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو  

تعریف: فرض کنیم f:ABg:A1B1 و طوری تعریف شده باشند که A1AB1B و به‌ازای هر x از A1، fx=gx در این‌صورت تابع g را یک تحدید تابع f می‌نامیم. تحدید به‌معنای پیدا کردن حد و کرانه چیزی است.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع وارون یا معکوس (تعریف و طرز نمایش آن)

10,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید