سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع نمایی (تعریف)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 42 مرتبه

مقدمه: تابع نمایی چیست و چگونه ساخته می‌شود؟

هر یک از نقاط جدول زیر را با استفاده از نقطه‌یابی در دستگاه مختصات مشخص کرده و سپس نمودار تابع y=2x را رسم می‌کنیم: 

تابع نمایی - پیمان گردلو

دامنه و برد y=2x به شرح زیر است:

fx=2x    ;    a=2>0      Df=Rf=0,+

تمرین

نمودار تابع زیر را با نقطه‌یابی به‌دست می‌آوریم:

y=12x

تابع نمایی - پیمان گردلو


دامنه و برد y=12x به شرح زیر است:

fx=12x     ;    0<a=12<1  Df=Rf=0,+

تعریف تابع نمایی

تابع  نمایی را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم: 

f:R0,+fx=ax    ;   a1  ,  a>0

برای مبنای a دو حالت به‌صورت زیر در نظر گرفته‌ایم:

0<a<1a>1

که در تعریف اصلی، تابع نمایی تنها یک حالت a>0  ,  a1 را در نظر می‌گیریم که دو حالت قبلی را پوشش می‌دهد.

نمودار کلی هر تابع نمایی با شرط فوق به شکل زیر است: 

تابع نمایی - پیمان گردلو

همان‌طور که در تعریف تابع نمایی مشاهده کردیم، دامنه و برد این تابع به‌صورت زیر است:

Df=RRf=0,+

تمرین

نمودار توابع نمایی زیر را رسم می‌کنیم:

fx=2xfx=12x

تابع نمایی - پیمان گردلو

fx=3xfx=13x

تابع نمایی - پیمان گردلو

دریافت مثال

نکته

مقایسه توابع y=ax 

توابع زیر را در یک دستگاه مختصات رسم می‌کنیم:

y=2xy=3xy=5x


تابع نمایی - پیمان گردلو

if    x>0      5x>3x>2x  if    x<0      5x<3x<2x


توابع زیر را در یک دستگاه مختصات رسم می‌کنیم:

y=2x=12xy=3x=13xy=5x=15x

تابع نمایی - پیمان گردلو

if    x>0        12x>13x>15x>  if    x<0       12x<13x<15x<


از دو نمودار فوق  می‌توان نتیجه گرفت:

if    x>0          2x<3x<5x<12x>13x>15x>if    x<0        2x>3x>5x>12x<13x<15x<

با توجه به خاصیت توان‌ها، فرض كنیم a,b>0:

1- اگر  نمودار y=ax پایین‌تر از نمودار y=bx باشد، آن‌گاه:

if    x>0    ,     a<b           ax<bx


2- اگر  نمودار y=ax بالا‌تر از نمودار y=bx باشد، آن‌گاه: 

if    x<0    ,     a<b           ax>bx

یادآوری

مقایسه توابع fx=ax و fx=logax


تابع زیر یک به یک است در نتیجه معکوس پذیر است:

f:R0,+fx=ax    ;   a1  ,  a>0

و معکوس آن را در این فاصله به‌صورت زیر نشان می‌دهیم: 

f1:0,+Rf1x=logax     ;   a1  ,  a>0

و داریم: 

y=axlogay=logaaxlogay=xlogaa     ;     logaa=1logay=x1x=logayf1x=logax


برای رسم نمودار تابع y=logax می‌توانیم قرینه نمودار y=ax را نسبت به خط y=x پیدا کنیم.  


تابع نمایی - پیمان گردلو

f1x=logax       ;     a>1      Df1=0,+Rf1=fx=ax                   ;      a>1     Df=Rf=0,+Df=Rf1=0,+Rf=Df1=

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع نمایی (تعریف)

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید