سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع یک به یک (تعریف)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 39 مرتبه

تعریف تابع یک به یک

در تعریف تابع بیان کردیم که f یک تابع از A از B است، اگر و تنها اگر به‌ازای هر xA فقط یک y از B وجود داشته باشد به‌طوری‌که y=fx است.

حال اگر در تابع y=fx به‌ازای هر y از Rf فقط یک x از دامنه وجود داشته باشد، به‌طوری‌که fx=y آن‌گاه f را تابع یک به یک می‌نامند. 

نمایش زوج مرتب تابع یک به یک

اگر تابعی به‌صورت زوج مرتب، نمایش داده شده باشد، این تابع وقتی یک به یک است که هیچ یک از مولفه‌های دوم زوج های مرتبش با هم برابر نباشند و یا در صورت برابری مولفه‌های دوم، مولفه‌های اول آن هم برابر باشند.

تمرین

کدام یک از توابع زیر، یک به یک است؟

f1=1,1,2,3,3,4

f1 یک به یک است. در تابع فوق، هیچ یک از مولفه‌های دوم زوج های مرتبش با هم برابر نیست.

f2=1,2,3,1,4,2

f2 یک به یک نیست. در تابع فوق، مولفه‌های دوم زوج های مرتبش با هم برابر است. 

f3=1,1,2,3,1,1

f3 یک به یک است. در صورت برابری مولفه‌های دوم، مولفه‌های اول آن هم برابر هستند.

دریافت مثال

نمایش نمودار پیکانی تابع یک به یک

اگر تابعی به صورت نمودار پیکانی نمایش داده شده باشد، آن نمودار بیان‌گر تابع یک به یک است، هرگاه هر دو عضو متمایز مجموعه آغاز با دو عضو متمایز مجموعه پایان، نظیر شده باشند.

برای یک به یک بودن، fx2,fx1 باید متمایز باشند.

تمرین

یک به یک بودن توابع زیر را که به صورت نمودار پیکانی بیان شده است، را بررسی می‌کنیم:

تابع یک به یک - پیمان گردلو

الف) یک به یک نیست.
ب) یک به یک است.
پ) یک به یک نیست.
ت) یک به یک است.

دریافت مثال

نمایش رابطه ریاضی تابع یک به یک

تابع f:ABy=fx را یک به یک گویند، هرگاه:

x1  ,  x2Df    ;    if  fx1=fx2x1=x2

تمرین

یک به یک بودن توابع زیر را بررسی می‌کنیم:

fx=2x+1

fx1=2x1+1fx2=2x2+1if  fx1=fx22x1+1=2x2+12x1=2x2x1=x2


تابع فوق یک به یک است.

hx=x+63x4

hx1=x1+63x14hx2=x2+63x24hx1=hx2x1+63x14=x2+63x24x1+63x24=x2+63x143x1x24x1+18x224=3x1x24x2+18x1244x118x1=4x218x222x1=22x2x1=x2


تابع فوق یک به یک است.

نکته

بر اساس مفهوم عکس و نقیض در گزاره‌های شرطی، داریم:

pq        ~q~p

با توجه به تعریف فوق، دو گزاره شرطی زیر معادل هستند:

x1  ,  x2Df    ;    fx1=fx2x1=x2x1  ,  x2Df    ;    x1x2fx1fx2

دریافت مثال

نمایش نمودار هندسی تابع یک به یک

وقتی نمودار هندسی تابع، یک به یک هست، که هر خط به موازات محور x ها، نمودار تابع را فقط در یک نقطه قطع کند.

به عبارت دیگر هر خط موازی محور x ها نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

اگر حداقل یک خط موازی محور x ها، نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع کند، تابع یک به یک نیست.

تمرین

یک به یک بودن توابع زیر را بررسی می‌کنیم:

تابع یک به یک - پیمان گردلو

در توابع f و g هر خط به موازات محور x ها نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند و یک به یک هستند.

در توابع t و s هر خط به موازات محور x ها نمودار آن را در بیش از یک نقطه قطع می‌کند و یک به یک نیستند.

تابع یک به یک - پیمان گردلو

در توابع f و g هر خط به موازات محور x ها نمودار آن را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند و یک به یک هستند.

در تابع h هر خط به موازات محور x ها نمودار آن را در بیش از یک نقطه قطع می‌کند و یک به یک نیستند.

تمرین

تابع fx=1x2 مفروض است:

به روش جبری نشان دهید که تابع فوق، یک به یک نیست.

fx1=1x12fx2=1x22fx1=fx21x12=1x22x12=x22x12=x22x1=±x2

به روش هندسی نشان دهید که تابع فوق، یک به یک نیست.

نمودار تابع فوق به صورت زیر رسم شده است:


تابع یک به یک - پیمان گردلو


از لحاظ هندسی، هر خط به موازات محور x ها نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کرده است و تابع فوق یک به یک نیست.

دریافت مثال

بررسی یک به یک بودن تابع چند ضابطه‌ای

تابع y=fx اگر تابعی با چند ضابطه باشد، در صورتی یک به یک است که در شرط های زیر صدق کند:

  1. بردهای هیچ دو ضابطه ای از ضابطه‌های آن، نقطه مشترک نداشته باشند.
  2. در هر ضابطه‌اش، یک به یک باشد.

دریافت مثال

نکته

در توابع چند ضابطه ای، بررسی یک به یک بودن طولانی است.
اگر بتوان نمودار هندسی این توابع را رسم کرد، راحت‌تر می‌توان روی یک به یکی بودن آن بحث کرد.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع یک به یک (تعریف)

7,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید