سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع متناوب (تعریف)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 50 مرتبه

تعریف تابع متناوب

تابع y=fx با دوره تناوب T0 در دامنه‌اش متناوب است، هرگاه:

xDfx+TDfxTDf

xDf    ;    fx+T=fx

لازم به توضیح است که T کوچک‌ترین مقدار مثبت ممکن است.

تمرین

توابعی که نمودار آنها در زیر آمده است، توابعی متناوب با دوره تناوب‌های مختلف است:

تابع متناوب - پیمان گردلو

تابع متناوب - پیمان گردلو

تمرین

با استفاده از تعریف تابع متناوب، دوره تناوب تابع زیر را به‌دست آورید.

fx=cot2x

if  fx+T=fxcot2x+T=cot2x2x+T=kπ+2x2x+2T=kπ+2x2T=kπT=kπ2       ;        k=1T=π2

قضیه

اگر T یک دوره تناوب تابع f باشد -T هم یک دوره تناوب آن است.  

اثبات

فرض می‌کنیم T دوره تناوب f باشد، آن‌گاه:  

xDfx±TDfxDf  ,  fx+T=fx

می‌خواهیم ثابت کنیم:  fxT=fx 

fxT=fxT+T=fx

تذکر

دامنه هر تابع متناوب از بالا و پائین، مجموعه‌ای بی‌کران است.

در یک تابع متناوب لازم نیست دامنه، تمام اعداد حقیقی باشد ولی به‌طور کلی لازم است دامنه، مجموعه‌ای از هر دو طرف بی‌کران باشد.

توابع با ضابطه های fx=sinx و hx=Arccosx نمی‌توانند متناوب باشند.

Df=0,+    و f از پایین کراندار است. 

Dh=1,1 و h از هر دو طرف کراندار است.

نکته

می‌توان تعریف تناوب را به‌گونه‌ای بیان کرد که دامنه تابع متناوب، یک مجموعه کراندار باشد.

مثلا y=sinx در فاصله 0,4π متناوب باشد، این تعریف باید به‌صورت زیر باشد:

تعریف: فرض کنیم تابع f بر مجموعه A از اعداد حقیقی تعریف شده باشد، در این‌صورت تابع f را بر مجموعه A متناوب گوییم، هرگاه عددی حقیقی مانند T0 وجود داشته باشد، به‌طوری‌که:  

xA    ;    x±TA -1

xA    ;    fx±T=fx  -2

قضیه

اگر  T دوره تناوب f باشد، آنگاه nT که در آن nZ0 یک دوره تناوب تابع f است، یعنی:

fx+nT=fx

اثبات

اگر n عددی طبیعی باشد، به استقرای ریاضی ثابت می‌شود:

if    n=1fx+T=fx

فرض استقرا: 

n=kfx+kT=fx

حکم استقرا: 

n=k+1fx+k+1T=fx


fx+k+1T=fx+kT+T                                     =fx+kT                                     =fx    ;    x+kTDf


اکنون بنابر نتیجه، nT نیز یک دوره تناوب f است.  

از نتیجه فوق می‌توان تعریف معادلی برای تابع متناوب پیدا کرد:

تعریف: تابع f:AB مفروض است، هرگاه عددی حقیقی مانند T0 وجود داشته باشد به طوری‌که:

xA  ,  x+kTA    ;    kZ

xA  ,  fx+kT=fx

در این‌صورت گوئیم f متناوب و T یک دوره تناوب آن است. 

تمرین

نشان دهید، تابع زیر که n<x<n+1 متناوب و دوره تناوب آن T=2 است.

f:RZRfx=1nxn

xRZx+2kRZ    ;    kZxRZfx+2k=fx


if   n<x<n+1n<x+2k<n+1n2km<x<n2km+1    ;    m=n2km<x<m+1                         ;    mZ


fx+2k=1nx+2knfx+2k=1m+2kx+2km+2k    ;    n=m+2kfx+2k=1m12kxmfx+2k=1mxm    ;      mZfx+2k=fxT=2k


T=2k یک دوره تناوب تابع است و کوچکترین مقدار مثبت آن به ازای k=1 برابر T=2 محاسبه می‌شود.


نمودار تابع به صورت زیر است:


تابع متناوب - پیمان گردلو   

تمرین

تابع با ضابطه زیر مفروض است:

fx=2    ;    xZ1    ;    xZ

ثابت کنید که تابع متناوب است و دوره تناوب آن 1 است.

Df=RxDfx+1TDfxDffx+1=?fxif     xZx+1Zif     xZx+1Zfx+1=fx

برای ارسال نظر وارد سایت شوید